Номер 98, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\sqrt[10]{25 - x^2} = \sqrt[10]{5 - x} \cdot \sqrt[10]{5 + x};$

2) $\sqrt[8]{(x - 8)(x - 10)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x};$

3) $\sqrt[5]{(x + 8)(x - 7)} = \sqrt[5]{x + 8} \cdot \sqrt[5]{x - 7}?$

1)

Данное равенство $\sqrt[10]{25 - x^2} = \sqrt[10]{5 - x} \cdot \sqrt[10]{5 + x}$ основано на свойстве корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Поскольку показатель корня $n=10$ является четным числом, это свойство выполняется только при условии, что подкоренные выражения множителей в правой части неотрицательны.
Следовательно, должны одновременно выполняться два условия:

1) $5 - x \geq 0$
2) $5 + x \geq 0$

Решим эту систему неравенств:

$ \begin{cases} 5 - x \geq 0 \\ 5 + x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 5 \\ x \geq -5 \end{cases} $

Пересечением этих двух условий является промежуток $[-5, 5]$.
При этих значениях $x$ подкоренное выражение в левой части, $25 - x^2 = (5-x)(5+x)$, также будет неотрицательным, поэтому левая часть равенства определена.
Таким образом, равенство выполняется при $x \in [-5, 5]$.

Ответ: $x \in [-5, 5]$.

2)

Рассмотрим равенство $\sqrt[8]{(x - 8)(x - 10)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x}$.
Заметим, что подкоренное выражение в левой части можно преобразовать: $(x - 8)(x - 10) = (-(8 - x)) \cdot (-(10 - x)) = (8 - x)(10 - x)$.
Таким образом, исходное равенство эквивалентно $\sqrt[8]{(8 - x)(10 - x)} = \sqrt[8]{8 - x} \cdot \sqrt[8]{10 - x}$.

Это равенство является применением свойства $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ для $n=8$.
Так как показатель корня $n=8$ — четное число, равенство справедливо только тогда, когда подкоренные выражения в правой части неотрицательны:

1) $8 - x \geq 0$
2) $10 - x \geq 0$

Решим систему неравенств:

$ \begin{cases} 8 - x \geq 0 \\ 10 - x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 8 \\ x \leq 10 \end{cases} $

Пересечением этих условий является $x \leq 8$.
При $x \leq 8$ оба множителя $(8-x)$ и $(10-x)$ неотрицательны, поэтому их произведение $(x-8)(x-10)$ также неотрицательно, и левая часть равенства определена.
Следовательно, равенство выполняется при $x \leq 8$.

Ответ: $x \in (-\infty, 8]$.

3)

Равенство $\sqrt[5]{(x + 8)(x - 7)} = \sqrt[5]{x + 8} \cdot \sqrt[5]{x - 7}$ использует свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
Показатель корня $n=5$ является нечетным числом.
Для корней нечетной степени свойство $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ выполняется для любых действительных чисел $a$ и $b$, для которых выражения имеют смысл.

Подкоренные выражения являются многочленами, которые определены для всех действительных значений $x$.
Следовательно, и левая, и правая части равенства определены при любом $x \in \mathbb{R}$.
Таким образом, равенство выполняется для всех действительных чисел.

Ответ: $x \in (-\infty, +\infty)$.