Номер 97, страница 18 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

97. Сравните:

1) $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$;

2) $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$;

3) $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.

1) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{7}$ и $\sqrt[3]{5}$, необходимо привести их к общему показателю корня. Наименьшее общее кратное (НОК) для показателей 4 и 3 равно 12.
Приведем первое число к корню 12-й степени:
$\sqrt[4]{7} = \sqrt[4 \cdot 3]{7^3} = \sqrt[12]{343}$.
Приведем второе число к корню 12-й степени:
$\sqrt[3]{5} = \sqrt[3 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[12]{625}$.
Теперь сравним подкоренные выражения: $343$ и $625$.
Так как $343 < 625$, то $\sqrt[12]{343} < \sqrt[12]{625}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[4]{7} < \sqrt[3]{5}$.

2) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{6}$ и $\sqrt[6]{15}$, приведем их к общему показателю корня. НОК для показателей 4 и 6 равно 12.
Приведем первое число к корню 12-й степени:
$\sqrt[4]{6} = \sqrt[4 \cdot 3]{6^3} = \sqrt[12]{216}$.
Приведем второе число к корню 12-й степени:
$\sqrt[6]{15} = \sqrt[6 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[12]{225}$.
Сравним подкоренные выражения: $216$ и $225$.
Так как $216 < 225$, то $\sqrt[12]{216} < \sqrt[12]{225}$.
Следовательно, $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.
Ответ: $\sqrt[4]{6} < \sqrt[6]{15}$.

3) Чтобы сравнить числа $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$, сначала упростим второе выражение.
Внесем множитель $6$ под знак внутреннего корня:
$6\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{6^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{216 \cdot 3} = \sqrt[3]{648}$.
Теперь второе выражение выглядит так:
$\sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}} = \sqrt[8]{\sqrt[3]{648}} = \sqrt[8 \cdot 3]{648} = \sqrt[24]{648}$.
Теперь нужно сравнить $\sqrt[6]{5}$ и $\sqrt[24]{648}$. Приведем их к общему показателю корня, который равен 24.
$\sqrt[6]{5} = \sqrt[6 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[24]{625}$.
Сравним подкоренные выражения: $625$ и $648$.
Так как $625 < 648$, то $\sqrt[24]{625} < \sqrt[24]{648}$.
Следовательно, $\sqrt[6]{5} < \sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{5} < \sqrt[8]{6\sqrt[3]{3}}$.