Номер 101, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Упростите выражение:

1) $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}$;

2) $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3}$;

3) $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} + \sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}.$

1) Для упрощения выражения $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}$ используется свойство корня четной степени: $\sqrt[2n]{a^{2n}} = |a|$. В данном случае показатель корня $4$ является четным числом, поэтому $\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4} = |\sqrt{3}-2|$.
Чтобы раскрыть модуль, необходимо определить знак подмодульного выражения $\sqrt{3}-2$. Сравним числа $\sqrt{3}$ и $2$. Для этого возведем их в квадрат: $(\sqrt{3})^2 = 3$ и $2^2 = 4$. Поскольку $3 < 4$, то $\sqrt{3} < 2$. Следовательно, разность $\sqrt{3}-2$ отрицательна.
По определению модуля, $|a| = -a$, если $a < 0$. Таким образом, $|\sqrt{3}-2| = -(\sqrt{3}-2) = 2 - \sqrt{3}$.
Ответ: $2 - \sqrt{3}$.

2) Выражение $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3}$ содержит корень нечетной степени. Для корней нечетной степени справедливо тождество $\sqrt[2n+1]{a^{2n+1}} = a$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня равен 3, что является нечетным числом.
Следовательно, $\sqrt[3]{(2-\sqrt{7})^3} = 2-\sqrt{7}$.
Ответ: $2 - \sqrt{7}$.

3) Упростим каждое слагаемое в выражении $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} + \sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}$ по отдельности.
Первое слагаемое: $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5}$. Так как показатель корня (5) является нечетным числом, то $\sqrt[5]{a^5} = a$. Таким образом, $\sqrt[5]{(8-\sqrt{11})^5} = 8-\sqrt{11}$.
Второе слагаемое: $\sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8}$. Так как показатель корня (8) является четным числом, то $\sqrt[8]{a^8} = |a|$. Таким образом, $\sqrt[8]{(3-\sqrt{11})^8} = |3-\sqrt{11}|$.
Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $3-\sqrt{11}$. Сравним $3$ и $\sqrt{11}$, возведя их в квадрат: $3^2 = 9$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$. Поскольку $9 < 11$, то $3 < \sqrt{11}$, и разность $3 - \sqrt{11}$ отрицательна.
Следовательно, $|3-\sqrt{11}| = -(3-\sqrt{11}) = \sqrt{11}-3$.
Теперь сложим упрощенные слагаемые: $(8-\sqrt{11}) + (\sqrt{11}-3) = 8 - \sqrt{11} + \sqrt{11} - 3 = 5$.
Ответ: $5$.