Номер 71, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt[4]{x+7};$

2) $y = \sqrt[6]{-x^2};$

3) $y = \sqrt[7]{x-6};$

4) $y = \sqrt[8]{x^2+3x};$

5) $y = \sqrt[8]{-6-5x-x^2};$

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2-4x-5}{x^2-25}}.$

1) $y = \sqrt[4]{x + 7}$
Область определения функции, содержащей корень четной степени (в данном случае, степени 4), определяется условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$x + 7 \ge 0$
Перенесем 7 в правую часть неравенства:
$x \ge -7$
Следовательно, область определения функции — это все числа, большие или равные -7.
Ответ: $D(y) = [-7; +\infty)$.

2) $y = \sqrt[6]{-x^2}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 6) должно быть неотрицательным.
$-x^2 \ge 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$x^2 \le 0$
Выражение $x^2$ всегда больше или равно нулю ($x^2 \ge 0$) для любого действительного числа $x$. Единственное значение $x$, при котором выполняется условие $x^2 \le 0$, — это $x=0$, когда $x^2 = 0$.
Таким образом, функция определена только в одной точке.
Ответ: $D(y) = \{0\}$.

3) $y = \sqrt[7]{x - 6}$
Область определения функции, содержащей корень нечетной степени (степени 7), совпадает с областью определения подкоренного выражения. Выражение $x - 6$ определено для всех действительных чисел.
Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

4) $y = \sqrt[8]{x^2 + 3x}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 8) должно быть неотрицательным.
$x^2 + 3x \ge 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x = 0$.
$x(x + 3) = 0$
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2 + 3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.
Таким образом, $x \in (-\infty; -3] \cup [0; +\infty)$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -3] \cup [0; +\infty)$.

5) $y = \sqrt[8]{-6 - 5x - x^2}$
Подкоренное выражение для корня четной степени (степени 8) должно быть неотрицательным.
$-6 - 5x - x^2 \ge 0$
Умножим неравенство на -1 и изменим знак на противоположный:
$x^2 + 5x + 6 \le 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а их произведение равно 6. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = -2$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x + 6$ является парабола с ветвями вверх, поэтому она принимает неположительные значения между корнями, включая сами корни.
Следовательно, решением неравенства является промежуток $[-3; -2]$.
Ответ: $D(y) = [-3; -2]$.

6) $y = \sqrt[12]{\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25}}$
Область определения функции определяется системой условий: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$\begin{cases} \frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25} \ge 0 \\ x^2 - 25 \neq 0 \end{cases}$
Решим неравенство $\frac{x^2 - 4x - 5}{x^2 - 25} \ge 0$ методом интервалов. Разложим числитель и знаменатель на множители.
Для числителя $x^2 - 4x - 5 = 0$ корни $x_1 = 5, x_2 = -1$, поэтому $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.
Для знаменателя $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 5)(x + 1)}{(x - 5)(x + 5)} \ge 0$
Найдем нули числителя и знаменателя: $x=-1$, $x=5$, $x=-5$.
Отметим эти точки на числовой прямой. Точки $x=5$ и $x=-5$ (нули знаменателя) будут выколотыми. Точка $x=-1$ (нуль числителя) будет закрашенной, так как неравенство нестрогое.
Определим знаки выражения на полученных интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1]$, $[-1; 5)$, $(5; +\infty)$.
- при $x > 5$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ (подходит)
- при $-1 \le x < 5$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$ (подходит)
- при $-5 < x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)(+)} < 0$ (не подходит)
- при $x < -5$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$ (подходит)
Объединяя подходящие промежутки, получаем решение неравенства.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -5) \cup [-1; 5) \cup (5; +\infty)$.