Номер 78, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. Между какими двумя последовательными целыми числами находится на координатной прямой число:

1) $\sqrt[3]{20}$;

2) $\sqrt[4]{90}$;

3) $-\sqrt[4]{40}$?

1) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt[3]{20}$, нужно найти такое целое число $n$, что $n < \sqrt[3]{20} < n+1$.

Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{20})^3 < (n+1)^3$ $n^3 < 20 < (n+1)^3$

Теперь найдем два последовательных целых числа, кубы которых "окружают" число 20. Рассмотрим кубы целых чисел: $1^3 = 1$ $2^3 = 8$ $3^3 = 27$

Мы видим, что $8 < 20 < 27$. Следовательно, $2^3 < 20 < 3^3$. Извлекая кубический корень из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[3]{2^3} < \sqrt[3]{20} < \sqrt[3]{3^3}$ $2 < \sqrt[3]{20} < 3$

Таким образом, число $\sqrt[3]{20}$ находится между числами 2 и 3.

Ответ: между 2 и 3.

2) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $\sqrt[4]{90}$, найдем целое число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[4]{90} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{90})^4 < (n+1)^4$ $n^4 < 90 < (n+1)^4$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 90. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$ $2^4 = 16$ $3^4 = 81$ $4^4 = 256$

Мы видим, что $81 < 90 < 256$. Следовательно, $3^4 < 90 < 4^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{3^4} < \sqrt[4]{90} < \sqrt[4]{4^4}$ $3 < \sqrt[4]{90} < 4$

Таким образом, число $\sqrt[4]{90}$ находится между числами 3 и 4.

Ответ: между 3 и 4.

3) Чтобы определить, между какими двумя последовательными целыми числами находится $-\sqrt[4]{40}$, сначала рассмотрим положительное число $\sqrt[4]{40}$. Найдем целое число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{40} < n+1$.

Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{40})^4 < (n+1)^4$ $n^4 < 40 < (n+1)^4$

Найдем два последовательных целых числа, четвертые степени которых "окружают" число 40. Рассмотрим четвертые степени целых чисел: $1^4 = 1$ $2^4 = 16$ $3^4 = 81$

Мы видим, что $16 < 40 < 81$. Следовательно, $2^4 < 40 < 3^4$. Извлекая корень четвертой степени из всех частей неравенства, получаем: $\sqrt[4]{2^4} < \sqrt[4]{40} < \sqrt[4]{3^4}$ $2 < \sqrt[4]{40} < 3$

Теперь умножим все части этого неравенства на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные: $-2 > -\sqrt[4]{40} > -3$

Запишем это неравенство в привычном порядке (от меньшего числа к большему): $-3 < -\sqrt[4]{40} < -2$

Таким образом, число $-\sqrt[4]{40}$ находится между числами -3 и -2.

Ответ: между -3 и -2.