Номер 81, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Решите уравнение:

1) $(16 - x^2)\sqrt[8]{x - 3} = 0;$

2) $(x + 5)\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0;$

3) $(|x| - 7)\sqrt[14]{x + 3} = 0.$

1) $(16 - x^2)\sqrt[8]{x - 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл (определен).
Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует корень чётной степени (8-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x - 3 \ge 0$, откуда получаем $x \ge 3$.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $16 - x^2 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x_1 = 4, x_2 = -4$.

2) $\sqrt[8]{x - 3} = 0 \implies x - 3 = 0 \implies x_3 = 3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 3$):

• $x_1 = 4$: $4 \ge 3$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -4$: $-4 \ge 3$ (неверно), корень не подходит.
• $x_3 = 3$: $3 \ge 3$ (верно), корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет два корня: 3 и 4.
Ответ: 3; 4.

2) $(x + 5)\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
Найдём ОДЗ. Подкоренное выражение корня чётной степени (18-й) должно быть неотрицательным: $x^2 + 12x + 20 \ge 0$.
Найдём корни квадратного трёхчлена $x^2 + 12x + 20 = 0$. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64 = 8^2$. Корни: $x_1 = \frac{-12 - 8}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-12 + 8}{2} = -2$.
Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 + 12x + 20 \ge 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -10] \cup [-2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 5 = 0 \implies x_1 = -5$.

2) $\sqrt[18]{x^2 + 12x + 20} = 0 \implies x^2 + 12x + 20 = 0 \implies x_2 = -10, x_3 = -2$.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

• $x_1 = -5$: не принадлежит ОДЗ, так как $-10 < -5 < -2$.
• $x_2 = -10$: принадлежит ОДЗ, так как $x \le -10$.
• $x_3 = -2$: принадлежит ОДЗ, так как $x \ge -2$.

Таким образом, решениями являются -10 и -2.
Ответ: -10; -2.

3) $(|x| - 7)\sqrt[14]{x + 3} = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
ОДЗ определяется условием неотрицательности подкоренного выражения корня чётной степени (14-й): $x + 3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $|x| - 7 = 0 \implies |x| = 7 \implies x_1 = 7, x_2 = -7$.

2) $\sqrt[14]{x + 3} = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x_3 = -3$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -3$):

• $x_1 = 7$: $7 \ge -3$ (верно), корень подходит.
• $x_2 = -7$: $-7 \ge -3$ (неверно), корень не подходит.
• $x_3 = -3$: $-3 \ge -3$ (верно), корень подходит.

Таким образом, уравнение имеет два корня: -3 и 7.
Ответ: -3; 7.