Номер 80, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

80. Решите уравнение:

1) $x^6 - 7x^3 + 8 = 0;$

2) $x^8 - 84x^4 + 243 = 0;$

3) $x^{16} + x^8 - 30 = 0.$

1) $x^6 - 7x^3 + 8 = 0$

Данное уравнение является биквадратным относительно $x^3$. Введем замену переменной.
Пусть $y = x^3$, тогда $x^6 = (x^3)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 7y + 8 = 0$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 49 - 32 = 17$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:
$y_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$
$y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$.

Для $y_1 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$:
$x^3 = \frac{7 - \sqrt{17}}{2}$
$x_1 = \sqrt[3]{\frac{7 - \sqrt{17}}{2}}$

Для $y_2 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$:
$x^3 = \frac{7 + \sqrt{17}}{2}$
$x_2 = \sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{17}}{2}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{7 - \sqrt{17}}{2}}; \sqrt[3]{\frac{7 + \sqrt{17}}{2}}$.

2) $x^8 - 84x^4 + 243 = 0$

Это уравнение также решается методом замены переменной.
Пусть $y = x^4$, тогда $x^8 = (x^4)^2 = y^2$.
Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$y^2 - 84y + 243 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-84)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 7056 - 972 = 6084$
$\sqrt{D} = \sqrt{6084} = 78$

Найдем корни для $y$:
$y_1 = \frac{84 - 78}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_2 = \frac{84 + 78}{2} = \frac{162}{2} = 81$

Оба корня положительные, поэтому вернемся к замене для каждого из них.

1. Если $y = 3$, то $x^4 = 3$.
Отсюда получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm \sqrt[4]{3}$.

2. Если $y = 81$, то $x^4 = 81$.
Отсюда получаем еще два действительных корня: $x_{3,4} = \pm \sqrt[4]{81} = \pm 3$.

Ответ: $-3; 3; -\sqrt[4]{3}; \sqrt[4]{3}$.

3) $x^{16} + x^8 - 30 = 0$

Это биквадратное уравнение относительно $x^8$. Сделаем замену.
Пусть $y = x^8$, тогда $x^{16} = (x^8)^2 = y^2$.
Получаем уравнение:

$y^2 + y - 30 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое можно решить по теореме Виета:
Сумма корней: $y_1 + y_2 = -1$
Произведение корней: $y_1 \cdot y_2 = -30$
Подбором находим корни: $y_1 = 5$ и $y_2 = -6$.

Теперь выполним обратную замену.

1. Если $y = 5$, то $x^8 = 5$.
Так как степень четная, а правая часть положительна, получаем два действительных корня: $x_{1,2} = \pm \sqrt[8]{5}$.

2. Если $y = -6$, то $x^8 = -6$.
Выражение $x^8$ не может быть отрицательным для любого действительного $x$. Следовательно, в этом случае действительных корней нет.

Ответ: $-\sqrt[8]{5}; \sqrt[8]{5}$.