Номер 86, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{216 \cdot 343}$;

2) $\sqrt[4]{0,0625 \cdot 256}$;

3) $\sqrt[7]{128 \cdot 0,0000001}$;

4) $\sqrt[5]{11^5 \cdot 5^{10}}$;

5) $\sqrt[9]{0,9^9 \cdot 3^{18}}$;

6) $\sqrt[4]{\frac{10^4 \cdot 3^{16}}{9^4 \cdot 2^8}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{216 \cdot 343}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.

$\sqrt[3]{216 \cdot 343} = \sqrt[3]{216} \cdot \sqrt[3]{343}$

Найдем кубические корни из каждого числа:

$\sqrt[3]{216} = 6$, так как $6^3 = 216$.

$\sqrt[3]{343} = 7$, так как $7^3 = 343$.

Теперь перемножим полученные значения:

$6 \cdot 7 = 42$.

Ответ: $42$.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{0,0625 \cdot 256}$ применим свойство корня из произведения:

$\sqrt[4]{0,0625 \cdot 256} = \sqrt[4]{0,0625} \cdot \sqrt[4]{256}$

Найдем корень четвертой степени из каждого множителя:

$\sqrt[4]{0,0625} = 0,5$, так как $0,5^4 = (0,5 \cdot 0,5) \cdot (0,5 \cdot 0,5) = 0,25 \cdot 0,25 = 0,0625$.

$\sqrt[4]{256} = 4$, так как $4^4 = (4 \cdot 4) \cdot (4 \cdot 4) = 16 \cdot 16 = 256$.

Перемножим результаты:

$0,5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: $2$.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt[7]{128 \cdot 0,0000001}$ используем свойство корня из произведения:

$\sqrt[7]{128 \cdot 0,0000001} = \sqrt[7]{128} \cdot \sqrt[7]{0,0000001}$

Найдем корень седьмой степени из каждого множителя:

$\sqrt[7]{128} = 2$, так как $2^7 = 128$.

$\sqrt[7]{0,0000001} = \sqrt[7]{10^{-7}} = 0,1$.

Перемножим результаты:

$2 \cdot 0,1 = 0,2$.

Ответ: $0,2$.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt[5]{11^5 \cdot 5^{10}}$ воспользуемся свойством корня из произведения и свойством корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$\sqrt[5]{11^5 \cdot 5^{10}} = \sqrt[5]{11^5} \cdot \sqrt[5]{5^{10}}$

Вычислим каждый множитель:

$\sqrt[5]{11^5} = 11^{\frac{5}{5}} = 11^1 = 11$.

$\sqrt[5]{5^{10}} = 5^{\frac{10}{5}} = 5^2 = 25$.

Перемножим полученные значения:

$11 \cdot 25 = 275$.

Ответ: $275$.

5) Для вычисления значения выражения $\sqrt[9]{0,9^9 \cdot 3^{18}}$ воспользуемся теми же свойствами, что и в предыдущем примере:

$\sqrt[9]{0,9^9 \cdot 3^{18}} = \sqrt[9]{0,9^9} \cdot \sqrt[9]{3^{18}}$

Вычислим каждый множитель:

$\sqrt[9]{0,9^9} = 0,9^{\frac{9}{9}} = 0,9^1 = 0,9$.

$\sqrt[9]{3^{18}} = 3^{\frac{18}{9}} = 3^2 = 9$.

Перемножим результаты:

$0,9 \cdot 9 = 8,1$.

Ответ: $8,1$.

6) Для вычисления значения выражения $\sqrt[4]{\frac{10^4 \cdot 3^{16}}{9^4 \cdot 2^8}}$ преобразуем подкоренное выражение, представив числа 10 и 9 в виде произведения простых множителей:

$10 = 2 \cdot 5$, значит $10^4 = (2 \cdot 5)^4 = 2^4 \cdot 5^4$.

$9 = 3^2$, значит $9^4 = (3^2)^4 = 3^8$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$\sqrt[4]{\frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 3^{16}}{3^8 \cdot 2^8}}$

Сократим степени с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{2^{4-8} \cdot 5^4 \cdot 3^{16-8}} = \sqrt[4]{2^{-4} \cdot 5^4 \cdot 3^8}$

Теперь извлечем корень четвертой степени из каждого множителя:

$2^{-\frac{4}{4}} \cdot 5^{\frac{4}{4}} \cdot 3^{\frac{8}{4}} = 2^{-1} \cdot 5^1 \cdot 3^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 9 = \frac{45}{2} = 22,5$.

Ответ: $22,5$.