Номер 83, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Постройте график функции:

1) $y = \sqrt[3]{x} + 1$;

2) $y = \sqrt[3]{3 + x}$;

3) $y = \sqrt[3]{3 - x}$;

4) $y = -\sqrt[3]{|x|} - 1.$

1) Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{x} + 1$ воспользуемся методом преобразования графиков, взяв за основу график функции $y = \sqrt[3]{x}$.
1. Сначала построим базовый график функции $y = \sqrt[3]{x}$. Это кубический корень, график которого проходит через начало координат и является возрастающей функцией. Для построения найдем несколько ключевых точек:
- при $x = -8, y = \sqrt[3]{-8} = -2$; точка (-8, -2)
- при $x = -1, y = \sqrt[3]{-1} = -1$; точка (-1, -1)
- при $x = 0, y = \sqrt[3]{0} = 0$; точка (0, 0)
- при $x = 1, y = \sqrt[3]{1} = 1$; точка (1, 1)
- при $x = 8, y = \sqrt[3]{8} = 2$; точка (8, 2)
2. График функции $y = \sqrt[3]{x} + 1$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат ($Oy$) на 1 единицу вверх.
3. Соответственно, все точки графика $y = \sqrt[3]{x}$ смещаются на 1 вверх. Новые координаты ключевых точек будут:
- (-8, -2+1) = (-8, -1)
- (-1, -1+1) = (-1, 0) — точка пересечения с осью $Ox$.
- (0, 0+1) = (0, 1) — точка пересечения с осью $Oy$.
- (1, 1+1) = (1, 2)
- (8, 2+1) = (8, 3)
Соединив эти точки плавной линией, получим искомый график.
Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{x} + 1$ — это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 1 единицу вверх по оси $Oy$.

2) Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{3+x}$ также используем преобразования.
1. Запишем функцию в виде $y = \sqrt[3]{x - (-3)}$. Это показывает, что график получается из базового графика $y = \sqrt[3]{x}$ сдвигом.
2. Базовый график — $y = \sqrt[3]{x}$ с ключевыми точками (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
3. График функции $y = \sqrt[3]{x+3}$ получается из графика $y = \sqrt[3]{x}$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс ($Ox$) на 3 единицы влево.
4. Сместим ключевые точки на 3 влево (вычитаем 3 из координаты $x$):
- (-8-3, -2) = (-11, -2)
- (-1-3, -1) = (-4, -1)
- (0-3, 0) = (-3, 0) — точка пересечения с осью $Ox$.
- (1-3, 1) = (-2, 1)
- (8-3, 2) = (5, 2)
Найдем точку пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \sqrt[3]{3} \approx 1.44$. Точка (0, $\sqrt[3]{3}$).
Соединив точки плавной кривой, получаем искомый график.
Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{3+x}$ — это график функции $y = \sqrt[3]{x}$, сдвинутый на 3 единицы влево по оси $Ox$.

3) Для построения графика функции $y = \sqrt[3]{3-x}$ выполним следующие преобразования.
1. Перепишем функцию: $y = \sqrt[3]{-(x-3)}$. Это означает, что мы применяем два преобразования к базовой функции $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Преобразования можно выполнить в следующем порядке:
а) Сначала строим график $y = \sqrt[3]{x}$.
б) Затем отражаем его симметрично относительно оси $Oy$, получая график $y = \sqrt[3]{-x}$. График становится убывающим.
в) После этого сдвигаем полученный график $y = \sqrt[3]{-x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси $Ox$, чтобы получить $y = \sqrt[3]{-(x-3)} = \sqrt[3]{3-x}$.
3. Применим эти преобразования к ключевым точкам. Исходные точки для $y = \sqrt[3]{x}$: (-8, -2), (-1, -1), (0, 0), (1, 1), (8, 2).
После отражения относительно $Oy$ (меняем знак у $x$): (8, -2), (1, -1), (0, 0), (-1, 1), (-8, 2).
После сдвига на 3 вправо (прибавляем 3 к $x$):
- (8+3, -2) = (11, -2)
- (1+3, -1) = (4, -1)
- (0+3, 0) = (3, 0) — точка пересечения с осью $Ox$.
- (-1+3, 1) = (2, 1)
- (-8+3, 2) = (-5, 2)
Точка пересечения с осью $Oy$: при $x=0$, $y = \sqrt[3]{3} \approx 1.44$. Точка (0, $\sqrt[3]{3}$).
Соединив точки, получаем убывающий график.
Ответ: График функции $y = \sqrt[3]{3-x}$ — это график $y = \sqrt[3]{x}$, отраженный симметрично относительно оси $Oy$ и затем сдвинутый на 3 единицы вправо по оси $Ox$.

4) Для построения графика функции $y = -\sqrt[3]{|x|} - 1$ выполним последовательность преобразований.
1. Начнем с базового графика $y = \sqrt[3]{x}$.
2. Построим график $y = \sqrt[3]{|x|}$. Для этого:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, поэтому график совпадает с $y = \sqrt[3]{x}$. Оставляем часть графика $y = \sqrt[3]{x}$ в правой полуплоскости.
- Так как функция $y = \sqrt[3]{|x|}$ является четной ($y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$), ее график симметричен относительно оси $Oy$. Поэтому отражаем часть графика для $x \ge 0$ симметрично влево относительно оси $Oy$.
Полученный график имеет точку излома (касп) в точке (0,0). Ключевые точки: (0,0), (1,1), (8,2), а также симметричные им (-1,1), (-8,2).
3. Далее строим график $y = -\sqrt[3]{|x|}$. Он получается из предыдущего графика путем симметричного отражения относительно оси $Ox$.
Все ординаты точек меняют знак. Ключевые точки: (0,0), (1,-1), (8,-2), (-1,-1), (-8,-2). График теперь направлен ветвями вниз.
4. Наконец, строим искомый график $y = -\sqrt[3]{|x|} - 1$. Для этого сдвигаем график $y = -\sqrt[3]{|x|}$ на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.
Координаты ключевых точек после сдвига:
- (0, 0-1) = (0, -1) — вершина каспа и точка пересечения с осью $Oy$.
- (1, -1-1) = (1, -2)
- (8, -2-1) = (8, -3)
- (-1, -1-1) = (-1, -2)
- (-8, -2-1) = (-8, -3)
График не пересекает ось $Ox$, так как его максимальное значение $y=-1$.
Ответ: График функции $y = -\sqrt[3]{|x|} - 1$ получается из части графика $y = \sqrt[3]{x}$ для $x \ge 0$ путем ее отражения относительно оси $Oy$, затем отражения полученного графика относительно оси $Ox$ и, наконец, сдвига на 1 единицу вниз по оси $Oy$.