Номер 82, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[7]{x}-3)^5$;

2) $y = (\sqrt[8]{x}+4)^8$.

1) $y = (\sqrt[7]{x-3})^5$

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение корня нечетной степени (в данном случае, 7) может принимать любые действительные значения. Поэтому выражение $x-3$ может быть любым. Следовательно, область определения функции $D(y)$ — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Упрощение и анализ функции.
Функцию можно записать в виде степенной функции: $y = (x-3)^{5/7}$.
График этой функции получается из графика базовой функции $y = x^{5/7}$ путем сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс (оси Ox).

3. Анализ базовой функции $y = x^{5/7}$.
- Это степенная функция с показателем $p = 5/7$, где $0 < p < 1$.
- График проходит через начало координат $(0, 0)$.
- Функция является нечетной, так как $y(-x) = (-x)^{5/7} = -x^{5/7} = -y(x)$, поэтому её график симметричен относительно начала координат.
- В точке $(0, 0)$ график имеет вертикальную касательную, так как производная $y' = \frac{5}{7}x^{-2/7}$ стремится к бесконечности при $x \to 0$.
- Функция возрастает на всей области определения.

4. Построение графика.
Чтобы построить график функции $y = (\sqrt[7]{x-3})^5$, мы берем график функции $y = x^{5/7}$ и сдвигаем его на 3 единицы вправо. Точка "перегиба" с вертикальной касательной сместится из $(0,0)$ в точку $(3,0)$.
Найдем несколько ключевых точек для построения:
- Если $x=3$, то $y = (\sqrt[7]{3-3})^5 = 0^5 = 0$. Точка $(3, 0)$.
- Если $x=4$, то $y = (\sqrt[7]{4-3})^5 = (\sqrt[7]{1})^5 = 1$. Точка $(4, 1)$.
- Если $x=2$, то $y = (\sqrt[7]{2-3})^5 = (\sqrt[7]{-1})^5 = -1$. Точка $(2, -1)$.
График функции будет возрастающей кривой, проходящей через эти точки, с формой, напоминающей "кубический корень", но с центром в точке $(3,0)$.

Ответ: График функции является графиком степенной функции $y = x^{5/7}$, сдвинутым на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Он проходит через точку $(3, 0)$, где имеет вертикальную касательную. Функция возрастает на всей числовой прямой. Для построения можно использовать ключевые точки $(2, -1)$, $(3, 0)$ и $(4, 1)$.

2) $y = (\sqrt[8]{x+4})^8$

1. Область определения функции.
Подкоренное выражение корня четной степени (в данном случае, 8) должно быть неотрицательным.
Следовательно, $x+4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$.
Область определения функции $D(y) = [-4; +\infty)$.

2. Упрощение функции.
По определению арифметического корня четной степени, $(\sqrt[n]{a})^n = a$ для любого $a \ge 0$. Так как в области определения нашей функции выражение $x+4$ всегда неотрицательно, мы можем упростить исходное уравнение:
$y = x+4$ при условии $x \ge -4$.

3. Построение графика.
Графиком функции $y=x+4$ является прямая линия. Однако из-за ограничения на область определения $x \ge -4$, графиком нашей функции будет не вся прямая, а только её часть — луч.
Чтобы построить этот луч, найдем его начальную точку и еще одну любую точку.
- Начальная точка луча соответствует наименьшему возможному значению $x$, то есть $x=-4$.
При $x=-4$, $y = -4 + 4 = 0$. Начальная точка — $(-4, 0)$. Эта точка принадлежит графику.
- Возьмем любое другое значение $x$ из области определения, например, $x=0$.
При $x=0$, $y = 0 + 4 = 4$. Вторая точка — $(0, 4)$.
Соединив точку $(-4, 0)$ с точкой $(0, 4)$ и продолжив линию дальше вправо и вверх, мы получим искомый график.

Ответ: График функции — это луч, являющийся частью прямой $y=x+4$. Начало луча находится в точке $(-4, 0)$ (точка включена в график), и он проходит через точку $(0, 4)$, уходя в бесконечность вправо и вверх.