Номер 84, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

84. Решите неравенство:

1) $\sqrt[4]{x-1} > 5;$

2) $\sqrt[5]{4x+1} < 3;$

3) $\sqrt[4]{2x-3} \le 3;$

4) $\sqrt[8]{x^2-7} \ge \sqrt[8]{6x}.$

1) $\sqrt[4]{x-1} > 5$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным:
$x - 1 \ge 0$
$x \ge 1$

Теперь решим само неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в четвертую степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{x-1})^4 > 5^4$
$x - 1 > 625$
$x > 626$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Нам нужно, чтобы выполнялись оба условия: $x \ge 1$ и $x > 626$. Пересечением этих двух условий является $x > 626$.
Ответ: $(626; +\infty)$.

2) $\sqrt[5]{4x+1} < 3$

Поскольку корень нечетной степени (пятой), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в пятую степень. При возведении в нечетную степень знак неравенства сохраняется:
$(\sqrt[5]{4x+1})^5 < 3^5$
$4x + 1 < 243$
$4x < 242$
$x < \frac{242}{4}$
$x < 60.5$

Так как ограничений на $x$ нет, это и есть окончательное решение.
Ответ: $(-\infty; 60.5)$.

3) $\sqrt[4]{2x-3} \le 3$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным:
$2x - 3 \ge 0$
$2x \ge 3$
$x \ge 1.5$

Обе части неравенства неотрицательны (левая часть по определению корня, правая — положительное число). Возведем обе части в четвертую степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{2x-3})^4 \le 3^4$
$2x - 3 \le 81$
$2x \le 84$
$x \le 42$

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Мы имеем систему:
$\begin{cases} x \ge 1.5 \\ x \le 42 \end{cases}$
Решением системы является промежуток $1.5 \le x \le 42$.
Ответ: $[1.5; 42]$.

4) $\sqrt[8]{x^2-7} \ge \sqrt[8]{6x}$

Найдем ОДЗ. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными, так как корни имеют четную степень:
$\begin{cases} x^2 - 7 \ge 0 \\ 6x \ge 0 \end{cases}$

Решим систему:
1) $6x \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$
2) $x^2 - 7 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 7 \Rightarrow |x| \ge \sqrt{7}$, что означает $x \le -\sqrt{7}$ или $x \ge \sqrt{7}$.
Пересечение решений $x \ge 0$ и ($x \le -\sqrt{7}$ или $x \ge \sqrt{7}$) дает нам ОДЗ: $x \ge \sqrt{7}$.

Теперь решаем основное неравенство. Так как функция $y = \sqrt[8]{t}$ является возрастающей на всей области определения, мы можем сравнить подкоренные выражения, сохранив знак неравенства:
$x^2 - 7 \ge 6x$
$x^2 - 6x - 7 \ge 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 6x - 7$ является парабола с ветвями вверх. Следовательно, неравенство выполняется при $x \le -1$ или $x \ge 7$.

Наконец, найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x \ge \sqrt{7}$).
Так как $\sqrt{7} \approx 2.65$, то $-\sqrt{7} < -1 < \sqrt{7} < 7$.
Пересечением множеств $(-\infty, -1] \cup [7, +\infty)$ и $[\sqrt{7}, +\infty)$ является промежуток $[7, +\infty)$.
Ответ: $[7; +\infty)$.