Номер 79, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Укажите все целые числа, расположенные на координатной прямой между числами:

1) 5 и $\sqrt[3]{400}$;

2) $\sqrt[7]{-98}$ и $\sqrt[4]{1300}$.

1) Чтобы найти целые числа, расположенные между $5$ и $\sqrt[3]{400}$, необходимо оценить значение выражения $\sqrt[3]{400}$.

Для этого найдем два последовательных целых числа, между кубами которых находится число $400$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$7^3 = 343$

$8^3 = 512$

Так как $343 < 400 < 512$, то и $\sqrt[3]{343} < \sqrt[3]{400} < \sqrt[3]{512}$, следовательно, $7 < \sqrt[3]{400} < 8$.

Мы ищем целые числа, которые находятся в интервале от $5$ до $\sqrt[3]{400}$. Это целые числа $x$, для которых выполняется неравенство $5 < x < \sqrt[3]{400}$.

Поскольку $7 < \sqrt[3]{400} < 8$, то этому неравенству удовлетворяют целые числа $6$ и $7$.

Ответ: $6, 7$.

2) Чтобы найти целые числа, расположенные между $\sqrt[7]{-98}$ и $\sqrt[4]{1300}$, оценим значение каждого из этих чисел.

Сначала оценим значение $\sqrt[7]{-98}$. Корень нечетной степени из отрицательного числа отрицателен: $\sqrt[7]{-98} = -\sqrt[7]{98}$. Найдем два последовательных целых числа, между седьмыми степенями которых находится число $-98$.

Рассмотрим степени отрицательных целых чисел:

$(-1)^7 = -1$

$(-2)^7 = -128$

Так как $-128 < -98 < -1$, то и $\sqrt[7]{-128} < \sqrt[7]{-98} < \sqrt[7]{-1}$, следовательно, $-2 < \sqrt[7]{-98} < -1$.

Теперь оценим значение $\sqrt[4]{1300}$. Найдем два последовательных целых числа, между четвертыми степенями которых находится число $1300$.

Рассмотрим степени целых чисел:

$6^4 = 1296$

$7^4 = 2401$

Так как $1296 < 1300 < 2401$, то и $\sqrt[4]{1296} < \sqrt[4]{1300} < \sqrt[4]{2401}$, следовательно, $6 < \sqrt[4]{1300} < 7$.

Мы ищем все целые числа $x$, удовлетворяющие двойному неравенству $\sqrt[7]{-98} < x < \sqrt[4]{1300}$.

Подставляя наши оценки, получаем, что целые числа должны находиться в интервале от числа (между $-2$ и $-1$) до числа (между $6$ и $7$).

Перечислим все целые числа, попадающие в этот интервал: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.

Ответ: $-1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.