Номер 145, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Укажите наименьший положительный и наибольший отрицательный углы, на которые надо повернуть точку $P_0 (0; 1)$, чтобы получить точку с координатами:

1) $(1; 0)$;

2) $(-1; 0)$;

3) $(0; -1)$;

4) $(0; 1)$.

Исходная точка $P_0(0; 1)$ находится на единичной окружности и соответствует углу $\frac{\pi}{2}$ радиан. Поворот на положительный угол происходит против часовой стрелки, а на отрицательный — по часовой стрелке. Наибольший отрицательный угол — это тот, что имеет наименьшую абсолютную величину (ближе всего к нулю).

1) (1; 0)

Конечная точка $(1; 0)$ соответствует углу $0$ радиан (или, что то же самое для положения, $2\pi$ радиан).
Чтобы найти наименьший положительный угол, мы поворачиваем точку $P_0$ против часовой стрелки от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $2\pi$. Угол поворота равен $2\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}$.
Чтобы найти наибольший отрицательный угол, мы поворачиваем точку $P_0$ по часовой стрелке от угла $\frac{\pi}{2}$ до угла $0$. Угол поворота равен $0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\frac{3\pi}{2}$; наибольший отрицательный угол: $-\frac{\pi}{2}$.

2) (-1; 0)

Конечная точка $(-1; 0)$ соответствует углу $\pi$ радиан.
Наименьший положительный угол (против часовой стрелки) от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ равен $\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
Наибольший отрицательный угол (по часовой стрелке) — это поворот на оставшуюся часть окружности в отрицательном направлении. Так как положительный поворот составляет $\frac{\pi}{2}$, то отрицательный поворот равен $-(2\pi - \frac{\pi}{2}) = -\frac{3\pi}{2}$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\frac{\pi}{2}$; наибольший отрицательный угол: $-\frac{3\pi}{2}$.

3) (0; -1)

Конечная точка $(0; -1)$ соответствует углу $\frac{3\pi}{2}$ радиан.
Наименьший положительный угол (против часовой стрелки) от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$ равен $\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi$.
Наибольший отрицательный угол (по часовой стрелке) — это поворот на оставшуюся часть окружности. Так как положительный поворот составляет $\pi$, то отрицательный поворот равен $-(2\pi - \pi) = -\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол: $\pi$; наибольший отрицательный угол: $-\pi$.

4) (0; 1)

Конечная точка $(0; 1)$ совпадает с начальной.
Чтобы вернуться в ту же точку, совершив положительный поворот, нужно сделать полный оборот против часовой стрелки. Наименьший такой угол равен $2\pi$.
Чтобы вернуться в ту же точку, совершив отрицательный поворот, нужно сделать полный оборот по часовой стрелке. Наибольший такой угол (ближайший к нулю) равен $-2\pi$.
Ответ: наименьший положительный угол: $2\pi$; наибольший отрицательный угол: $-2\pi$.