Номер 146, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку

$P_0 (0; -1)$, чтобы получить точку:

1) $P_1 \left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

2) $P_2 \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$.

1)

Данная задача рассматривается на единичной окружности. Начальная точка $P_0(0; -1)$ соответствует углу $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$ (или $270^\circ$), так как $\cos(-\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$.

Конечная точка $P_1\left(\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ соответствует углу $\alpha_1 = -\frac{\pi}{4}$ (или $315^\circ$), так как $\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Чтобы найти угол поворота $\theta_1$, нужно из конечного угла вычесть начальный: $\theta_1 = \alpha_1 - \alpha_0 = -\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

Это один из возможных углов поворота. Поскольку поворот на $2\pi$ (или $360^\circ$) возвращает точку в то же положение, то все возможные углы поворота можно найти, прибавив к найденному углу целое число полных оборотов ($2\pi k$, где $k$ — любое целое число).

Ответ: $\frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2)

Начальная точка та же: $P_0(0; -1)$, что соответствует углу $\alpha_0 = -\frac{\pi}{2}$.

Конечная точка $P_2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2}\right)$. Для этой точки $\cos(\alpha_2) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(\alpha_2) = \frac{1}{2}$. Это соответствует углу $\alpha_2 = \frac{5\pi}{6}$ (или $150^\circ$), который находится во второй четверти.

Найдём угол поворота $\theta_2$ как разность между конечным и начальным углами: $\theta_2 = \alpha_2 - \alpha_0 = \frac{5\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \frac{5\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$.

Общее решение для всех углов поворота, учитывающее полные обороты, записывается в виде: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: $\frac{4\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.