Номер 147, страница 78 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

147. Найдите координаты точек единичной окружности, полученных при повороте точки $P_0(1; 0)$ на углы:

1) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k;$

3) $-\frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z};$

2) $\frac{2\pi}{3} + 4\pi k, k \in \mathbf{Z};$

4) $\frac{\pi k}{6}, k \in \mathbf{Z}.$

Координаты точки $P_α(x; y)$ на единичной окружности, полученной поворотом точки $P_0(1; 0)$ на угол $α$, находятся по формулам: $x = \cos α$ и $y = \sin α$.

1) Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $α = -\frac{π}{6} + 2πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $2πk$ означает целое число полных оборотов, поэтому положение точки на окружности определяется углом $α = -\frac{π}{6}$.
$x = \cos(-\frac{π}{6}) = \cos(\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$y = \sin(-\frac{π}{6}) = -\sin(\frac{π}{6}) = -\frac{1}{2}$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.

2) Найдем координаты точки, полученной при повороте на угол $α = \frac{2π}{3} + 4πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $4πk = 2 \cdot (2πk)$ означает целое число двойных полных оборотов, поэтому положение точки определяется углом $α = \frac{2π}{3}$.
$x = \cos(\frac{2π}{3}) = -\frac{1}{2}$
$y = \sin(\frac{2π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
Следовательно, искомая точка имеет координаты $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Ответ: $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.

3) Найдем координаты точек, полученных при повороте на угол $α = -\frac{π}{2} + πk, k \in \mathbb{Z}$. Слагаемое $πk$ означает, что точки будут повторяться через каждые пол-оборота (180°). Рассмотрим два случая в зависимости от четности $k$.
Если $k$ — четное число (например, $k = 2n, n \in \mathbb{Z}$), то $α = -\frac{π}{2} + 2πn$. Положение точки определяется углом $-\frac{π}{2}$.
$x = \cos(-\frac{π}{2}) = 0$
$y = \sin(-\frac{π}{2}) = -1$
Получаем точку $(0; -1)$.
Если $k$ — нечетное число (например, $k = 2n + 1, n \in \mathbb{Z}$), то $α = -\frac{π}{2} + π(2n + 1) = -\frac{π}{2} + 2πn + π = \frac{π}{2} + 2πn$. Положение точки определяется углом $\frac{π}{2}$.
$x = \cos(\frac{π}{2}) = 0$
$y = \sin(\frac{π}{2}) = 1$
Получаем точку $(0; 1)$.
Таким образом, мы имеем две различные точки.
Ответ: $(0; -1)$ и $(0; 1)$.

4) Найдем координаты точек, полученных при повороте на угол $α = \frac{πk}{6}, k \in \mathbb{Z}$. Поскольку период тригонометрических функций синус и косинус равен $2π$, положения точек на окружности будут циклически повторяться. Найдем, при каком значении $k$ произойдет полный оборот: $\frac{πk}{6} = 2π$, откуда $k = 12$. Следовательно, существует 12 различных точек, соответствующих значениям $k$ от 0 до 11. Перечислим их координаты:
При $k=0$: $α=0$. Точка $(\cos(0); \sin(0)) = (1; 0)$.
При $k=1$: $α=\frac{π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{π}{6}); \sin(\frac{π}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.
При $k=2$: $α=\frac{2π}{6}=\frac{π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{π}{3}); \sin(\frac{π}{3})) = (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=3$: $α=\frac{3π}{6}=\frac{π}{2}$. Точка $(\cos(\frac{π}{2}); \sin(\frac{π}{2})) = (0; 1)$.
При $k=4$: $α=\frac{4π}{6}=\frac{2π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{2π}{3}); \sin(\frac{2π}{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=5$: $α=\frac{5π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{5π}{6}); \sin(\frac{5π}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$.
При $k=6$: $α=\frac{6π}{6}=π$. Точка $(\cos(π); \sin(π)) = (-1; 0)$.
При $k=7$: $α=\frac{7π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{7π}{6}); \sin(\frac{7π}{6})) = (-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
При $k=8$: $α=\frac{8π}{6}=\frac{4π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{4π}{3}); \sin(\frac{4π}{3})) = (-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=9$: $α=\frac{9π}{6}=\frac{3π}{2}$. Точка $(\cos(\frac{3π}{2}); \sin(\frac{3π}{2})) = (0; -1)$.
При $k=10$: $α=\frac{10π}{6}=\frac{5π}{3}$. Точка $(\cos(\frac{5π}{3}); \sin(\frac{5π}{3})) = (\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$.
При $k=11$: $α=\frac{11π}{6}$. Точка $(\cos(\frac{11π}{6}); \sin(\frac{11π}{6})) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.
Ответ: $(1; 0)$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $(\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; 1)$, $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{1}{2})$, $(-1; 0)$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(0; -1)$, $(\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2})$.