Номер 304, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

304. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x)=-x^8+4x^7+8$;

2) $f(x)=(x+5)^2(x-4)^2$.

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума функции $f(x) = -x^8 + 4x^7 + 8$, необходимо исследовать ее производную.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.
Находим производную функции:
$f'(x) = (-x^8 + 4x^7 + 8)' = -8x^7 + 28x^6$.
Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies -8x^7 + 28x^6 = 0$.
Вынесем за скобки общий множитель $-4x^6$:
$-4x^6(2x - 7) = 0$.
Отсюда получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3.5$. Это стационарные точки.
Определим знаки производной на интервалах, на которые эти точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 3.5)$ и $(3.5; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: возьмем $x=-1$, $f'(-1) = -4(-1)^6(2(-1) - 7) = -4(1)(-9) = 36 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(0; 3.5)$: возьмем $x=1$, $f'(1) = -4(1)^6(2(1) - 7) = -4(1)(-5) = 20 > 0$. Следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(3.5; +\infty)$: возьмем $x=4$, $f'(4) = -4(4)^6(2(4) - 7) = -4(4096)(1) < 0$. Следовательно, функция убывает.
Поскольку функция непрерывна, а производная положительна на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; 3.5)$, то функция возрастает на всем промежутке $(-\infty; 3.5]$.
Промежуток убывания: $[3.5; +\infty)$.
В точке $x=3.5$ производная меняет знак с «+» на «-», поэтому это точка максимума.
В точке $x=0$ производная не меняет знак, поэтому $x=0$ не является точкой экстремума.
Ответ: промежуток возрастания $(-\infty; 3.5]$, промежуток убывания $[3.5; +\infty)$, точка максимума $x_{max} = 3.5$.

2) Для функции $f(x) = (x+5)^2(x-4)^2$ найдем промежутки монотонности и точки экстремума.
Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
Для нахождения производной удобно представить функцию в виде $f(x) = ((x+5)(x-4))^2 = (x^2+x-20)^2$.
Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = 2(x^2+x-20) \cdot (x^2+x-20)' = 2(x^2+x-20)(2x+1)$.
Разложив квадратный трехчлен на множители, получаем:
$f'(x) = 2(x+5)(x-4)(2x+1)$.
Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$2(x+5)(x-4)(2x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -5$, $x_2 = 4$, $x_3 = -0.5$.
Определим знаки производной на интервалах: $(-\infty; -5)$, $(-5; -0.5)$, $(-0.5; 4)$ и $(4; +\infty)$.
- На интервале $(-\infty; -5)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-5; -0.5)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-0.5; 4)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(4; +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Таким образом, промежутки возрастания функции: $[-5; -0.5]$ и $[4; +\infty)$.
Промежутки убывания функции: $(-\infty; -5]$ и $[-0.5; 4]$.
В точке $x=-5$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.
В точке $x=-0.5$ производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума.
В точке $x=4$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: промежутки возрастания $[-5; -0.5]$ и $[4; +\infty)$, промежутки убывания $(-\infty; -5]$ и $[-0.5; 4]$, точки минимума $x_{min}=-5$ и $x_{min}=4$, точка максимума $x_{max}=-0.5$.