Номер 307, страница 105 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{3-x};$

2) $f(x) = \cos4x - 2\sqrt{2x}$

1) $f(x) = x^2\sqrt{3-x}$

Решение:

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$3-x \ge 0 \implies x \le 3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 3]$.

2. Найдем производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{3-x} + x^2(\sqrt{3-x})' = 2x\sqrt{3-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{3-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{3-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{3-x}}$.

Приведем производную к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{3-x} \cdot 2\sqrt{3-x} - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{4x(3-x) - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{3-x}} = \frac{12x - 5x^2}{2\sqrt{3-x}}$.

3. Найдем критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная не существует при $x=3$ (знаменатель равен нулю). Эта точка является концом области определения.
Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies 12x - 5x^2 = 0 \implies x(12 - 5x) = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{12}{5} = 2.4$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения $(-\infty; 3]$.
Интервалы: $(-\infty; 0)$, $(0; 2.4)$, $(2.4; 3)$.
Знаменатель $2\sqrt{3-x}$ положителен на всей области определения производной, поэтому знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $12x - 5x^2 = -5x(x - 2.4)$.
- На интервале $(-\infty; 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 2.4)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(2.4; 3)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.

5. Найдем точки экстремума.
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точка локального минимума: $x_{min} = 0$.
- В точке $x = 2.4$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точка локального максимума: $x_{max} = 2.4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; 2.4]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2.4; 3]$. Точка минимума $x_{min} = 0$, точка максимума $x_{max} = 2.4$.

2) $f(x) = \cos(4x) - 2\sqrt{2}x$

Решение:

1. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\cos(4x))' - (2\sqrt{2}x)' = -\sin(4x) \cdot 4 - 2\sqrt{2} = -4\sin(4x) - 2\sqrt{2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \implies -4\sin(4x) - 2\sqrt{2} = 0 \implies -4\sin(4x) = 2\sqrt{2} \implies \sin(4x) = -\frac{2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решим тригонометрическое уравнение. Оно распадается на две серии решений:
$4x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.
$4x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$.

4. Определим интервалы возрастания и убывания. Знак производной зависит от знака выражения $-4\sin(4x) - 2\sqrt{2}$.
- Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$-4\sin(4x) - 2\sqrt{2} > 0 \implies -4\sin(4x) > 2\sqrt{2} \implies \sin(4x) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $4x \in (\frac{5\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x \in (\frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}), \quad n \in \mathbb{Z}$.
- Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$-4\sin(4x) - 2\sqrt{2} < 0 \implies \sin(4x) > -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Это неравенство выполняется, когда $4x \in (-\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{5\pi}{4} + 2\pi n), \quad n \in \mathbb{Z}$.
Следовательно, $x \in (-\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}), \quad n \in \mathbb{Z}$.

5. Найдем точки экстремума.
- В точках $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума.
- В точках $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$ (которые также можно записать как $x = \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi(n-1)}{2}$) производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[\frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{7\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}]$, убывает на промежутках $[-\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}; \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}]$, где $n \in \mathbb{Z}$. Точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.