Номер 309, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2, [-2; 1]$

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1, [0; 6]$

3) $f(x) = x^6 + 2x^4 + 4, [1; 2]$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}, [-1; 3]$

1) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2$ на промежутке $[-2; 1]$.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке найдем её производную, критические точки, а затем сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 + \frac{3}{2}x^2)' = 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x = 3x^2 + 3x$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 3x = 0$
$3x(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Обе точки принадлежат заданному промежутку $[-2; 1]$.
3. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах промежутка:
$f(-2) = (-2)^3 + \frac{3}{2}(-2)^2 = -8 + \frac{3}{2} \cdot 4 = -8 + 6 = -2$.
$f(-1) = (-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 = -1 + \frac{3}{2} = 0.5$.
$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2}(0)^2 = 0$.
$f(1) = 1^3 + \frac{3}{2}(1)^2 = 1 + \frac{3}{2} = 2.5$.
4. Сравнивая полученные значения ($-2; 0.5; 0; 2.5$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $2.5$.
Наименьшее значение: $-2$.
Ответ: наибольшее значение $2.5$, наименьшее значение $-2$.

2) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1$ на промежутке $[0; 6]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 12x + 1)' = x^2 + x - 12$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$x^2 + x - 12 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Промежутку $[0; 6]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 3$.
3. Вычисляем значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:
$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 - 12(0) + 1 = 1$.
$f(3) = \frac{1}{3}(3)^3 + \frac{1}{2}(3)^2 - 12(3) + 1 = 9 + 4.5 - 36 + 1 = -21.5$.
$f(6) = \frac{1}{3}(6)^3 + \frac{1}{2}(6)^2 - 12(6) + 1 = \frac{216}{3} + \frac{36}{2} - 72 + 1 = 72 + 18 - 72 + 1 = 19$.
4. Сравнивая полученные значения ($1; -21.5; 19$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $19$.
Наименьшее значение: $-21.5$.
Ответ: наибольшее значение $19$, наименьшее значение $-21.5$.

3) $f(x) = x^6 + 2x^4 + 4$ на промежутке $[1; 2]$.
1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^6 + 2x^4 + 4)' = 6x^5 + 8x^3$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$6x^5 + 8x^3 = 0$
$2x^3(3x^2 + 4) = 0$
Единственная критическая точка $x = 0$. Она не принадлежит промежутку $[1; 2]$.
Поскольку на промежутке $[1; 2]$ производная $f'(x) = 6x^5 + 8x^3 > 0$, функция является возрастающей на этом промежутке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце, а наибольшее — на правом.
3. Вычисляем значения функции на концах промежутка:
$f(1) = 1^6 + 2(1)^4 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7$.
$f(2) = 2^6 + 2(2)^4 + 4 = 64 + 2 \cdot 16 + 4 = 64 + 32 + 4 = 100$.
Наибольшее значение: $100$.
Наименьшее значение: $7$.
Ответ: наибольшее значение $100$, наименьшее значение $7$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x - 4}$ на промежутке $[-1; 3]$.
Функция непрерывна на данном промежутке, так как точка разрыва $x=4$ не входит в него.
1. Находим производную функции по правилу дифференцирования частного:
$f'(x) = \frac{(x^2 - 3x)'(x - 4) - (x^2 - 3x)(x - 4)'}{(x - 4)^2} = \frac{(2x - 3)(x - 4) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x - 4)^2}$
$f'(x) = \frac{2x^2 - 8x - 3x + 12 - x^2 + 3x}{(x - 4)^2} = \frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2}$.
2. Находим критические точки, решая уравнение $f'(x) = 0$:
$\frac{x^2 - 8x + 12}{(x - 4)^2} = 0 \implies x^2 - 8x + 12 = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$.
Промежутку $[-1; 3]$ принадлежит только одна критическая точка: $x = 2$.
3. Вычисляем значения функции в этой критической точке и на концах промежутка:
$f(-1) = \frac{(-1)^2 - 3(-1)}{-1 - 4} = \frac{1 + 3}{-5} = -\frac{4}{5} = -0.8$.
$f(2) = \frac{2^2 - 3(2)}{2 - 4} = \frac{4 - 6}{-2} = \frac{-2}{-2} = 1$.
$f(3) = \frac{3^2 - 3(3)}{3 - 4} = \frac{9 - 9}{-1} = 0$.
4. Сравнивая полученные значения ($-0.8; 1; 0$), выбираем наибольшее и наименьшее.
Наибольшее значение: $1$.
Наименьшее значение: $-0.8$.
Ответ: наибольшее значение $1$, наименьшее значение $-0.8$.