Номер 316, страница 106 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 3x;$

2) $f(x) = x^4 + 4x^2 - 5;$

3) $f(x) = (x - 3)^2 (x - 1)^2;$

4) $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9};$

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3};$

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}.$

1) $f(x) = x^3 - 3x$

1. Область определения.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$.
Функция является нечетной. График симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x^3 - 3x = 0 \Rightarrow x(x^2 - 3) = 0$. Корни: $x_1=0$, $x_2=\sqrt{3}$, $x_3=-\sqrt{3}$. Точки $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
$\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 3x) = \pm\infty$. Горизонтальных асимптот нет.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3 - 3x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (x^2 - 3) = +\infty$. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
Критические точки (где $f'(x)=0$): $x=1$ и $x=-1$.
Исследуем знак производной на интервалах:
- на $(-\infty, -1)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на $(-1, 1)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(1, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=-1$ производная меняет знак с $+$ на $-$, следовательно, это точка локального максимума. $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2$. Точка максимума $(-1, 2)$.
В точке $x=1$ производная меняет знак с $-$ на $+$, следовательно, это точка локального минимума. $f(1) = 1^3 - 3(1) = -2$. Точка минимума $(1, -2)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Найдем точки, где $f''(x)=0$: $6x=0 \Rightarrow x=0$.
- При $x \in (-\infty, 0)$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый.
- При $x \in (0, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график функции вогнутый.
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

7. Построение графика.
На основе полученных данных строим график. Он проходит через начало координат, имеет симметрию относительно него. Достигает локального максимума в $(-1, 2)$, затем убывает, проходит через точку перегиба $(0,0)$, достигает локального минимума в $(1, -2)$ и снова возрастает. Оси пересекаются в точках $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0,0)$ и $(\sqrt{3}, 0)$.

Ответ: Функция нечетная, симметрична относительно начала координат. Пересекает оси в точках $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$, $(-\sqrt{3}, 0)$. Локальный максимум в точке $(-1, 2)$, локальный минимум в точке $(1, -2)$. Точка перегиба в $(0, 0)$. Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$ и убывает на $(-1, 1)$. График выпуклый на $(-\infty, 0)$ и вогнутый на $(0, +\infty)$. Асимптот нет.

2) $f(x) = x^4 + 4x^2 - 5$

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = (-x)^4 + 4(-x)^2 - 5 = x^4 + 4x^2 - 5 = f(x)$.
Функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = -5$. Точка $(0, -5)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x^4 + 4x^2 - 5 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2+4t-5=0$, откуда $(t+5)(t-1)=0$. Так как $t=x^2 \ge 0$, подходит только $t=1$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$. Точки $(1, 0)$ и $(-1, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} (x^4 + 4x^2 - 5) = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = 4x^3 + 8x = 4x(x^2 + 2)$.
Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow 4x(x^2+2)=0 \Rightarrow x=0$.
Исследуем знак производной:
- на $(-\infty, 0)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(0, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В точке $x=0$ производная меняет знак с $-$ на $+$, это точка локального минимума. $f(0) = -5$. Точка минимума $(0, -5)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f''(x) = (4x^3 + 8x)' = 12x^2 + 8 = 4(3x^2+2)$.
Так как $3x^2+2 > 0$ для всех $x$, то $f''(x) > 0$ на всей области определения. График функции всегда вогнутый.

7. Построение графика.
График представляет собой W-образную кривую, симметричную относительно оси Oy. Он убывает из $+\infty$ до точки глобального минимума $(0, -5)$, а затем возрастает до $+\infty$. Пересекает ось Ox в точках $(-1, 0)$ и $(1, 0)$. Весь график вогнутый (выпуклый вниз).

Ответ: Функция четная, симметрична относительно оси Oy. Пересекает оси в точках $(0, -5)$, $(-1, 0)$, $(1, 0)$. Глобальный минимум в точке $(0, -5)$. Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. График всегда вогнутый. Асимптот нет.

3) $f(x) = (x - 3)^2(x - 1)^2$

1. Область определения.
Функция является многочленом, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(x) = ((x-2)-1)^2((x-2)+1)^2 = ((x-2)^2-1)^2$. Функция симметрична относительно прямой $x=2$. Не является ни четной, ни нечетной.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = (-3)^2(-1)^2 = 9$. Точка $(0, 9)$.
С осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow (x-3)^2(x-1)^2 = 0$. Корни $x=1$ и $x=3$ (кратность 2). График касается оси Ox в точках $(1, 0)$ и $(3, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = +\infty$. Горизонтальных и наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
Первая производная: $f'(x) = 2(x-3)(x-1)^2 + (x-3)^2 \cdot 2(x-1) = 2(x-3)(x-1)(x-1+x-3) = 4(x-1)(x-2)(x-3)$.
Критические точки: $x=1, x=2, x=3$.
- на $(-\infty, 1)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(1, 2)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает;
- на $(2, 3)$ $f'(x) < 0$, функция убывает;
- на $(3, +\infty)$ $f'(x) > 0$, функция возрастает.
В $x=1$ локальный минимум, $f(1)=0$. Точка $(1, 0)$.
В $x=2$ локальный максимум, $f(2)=(2-3)^2(2-1)^2=1$. Точка $(2, 1)$.
В $x=3$ локальный минимум, $f(3)=0$. Точка $(3, 0)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
Вторая производная: $f'(x) = 4(x^3 - 6x^2 + 11x - 6)$, тогда $f''(x) = 4(3x^2 - 12x + 11)$.
$f''(x)=0 \Rightarrow 3x^2-12x+11=0$. Корни: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.
- на $(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{3}}{3})$ $f''(x)>0$, график вогнутый;
- на $(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, 2 + \frac{\sqrt{3}}{3})$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$. $f(2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. Точки $(2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$ и $(2 + \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{4}{9})$.

Ответ: Область определения $(-\infty, +\infty)$. График симметричен относительно прямой $x=2$. Пересечение с осями: $(0, 9)$, $(1, 0)$, $(3, 0)$. Локальные минимумы в $(1, 0)$ и $(3, 0)$, локальный максимум в $(2, 1)$. Точки перегиба при $x = 2 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$, $y = \frac{4}{9}$. Возрастает на $(1, 2) \cup (3, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 1) \cup (2, 3)$.

4) $f(x) = \frac{6x}{x^2 + 9}$

1. Область определения.
Знаменатель $x^2+9 \neq 0$ для всех $x$. $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{6(-x)}{(-x)^2+9} = -\frac{6x}{x^2+9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
$x=0 \Rightarrow f(0) = 0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальных асимптот нет.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{6x}{x^2+9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{6/x}{1+9/x^2} = 0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = \frac{6(x^2+9) - 6x(2x)}{(x^2+9)^2} = \frac{54-6x^2}{(x^2+9)^2} = \frac{6(9-x^2)}{(x^2+9)^2}$.
Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow 9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm3$.
- на $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$ $f'(x)<0$, функция убывает;
- на $(-3, 3)$ $f'(x)>0$, функция возрастает.
В $x=-3$ локальный минимум, $f(-3) = \frac{-18}{18} = -1$. Точка $(-3, -1)$.
В $x=3$ локальный максимум, $f(3) = \frac{18}{18} = 1$. Точка $(3, 1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-12x(x^2+9)^2 - (54-6x^2) \cdot 2(x^2+9)(2x)}{(x^2+9)^4} = \frac{12x(x^2-27)}{(x^2+9)^3}$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x=0, x=\pm\sqrt{27}=\pm3\sqrt{3}$.
- на $(-\infty, -3\sqrt{3}) \cup (0, 3\sqrt{3})$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(-3\sqrt{3}, 0) \cup (3\sqrt{3}, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
Точки перегиба: $(0, 0)$, $(\pm3\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Ответ: Функция нечетная, D(f) - все действительные числа. Горизонтальная асимптота $y=0$. Пересечение осей в $(0, 0)$. Локальный минимум в $(-3, -1)$, максимум в $(3, 1)$. Точки перегиба в $(0, 0)$ и $(\pm3\sqrt{3}, \pm\frac{\sqrt{3}}{2})$. Возрастает на $(-3, 3)$, убывает на $(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 4x + 3}$

1. Область определения.
$x^2 - 4x + 3 \neq 0 \Rightarrow (x-1)(x-3) \neq 0$. $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{1}{x^2+4x+3}$. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0)=1/3$. Точка $(0, 1/3)$.
С осью Ox: $f(x) \neq 0$. Пересечений нет.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x=1$ и $x=3$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-4x+3}=0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = -\frac{2x-4}{(x^2-4x+3)^2} = \frac{4-2x}{(x^2-4x+3)^2}$.
Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow 4-2x=0 \Rightarrow x=2$.
- на $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$ $f'(x)>0$, функция возрастает;
- на $(2, 3) \cup (3, +\infty)$ $f'(x)<0$, функция убывает.
В $x=2$ локальный максимум, $f(2) = \frac{1}{4-8+3} = -1$. Точка $(2, -1)$.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{6x^2-24x+26}{(x^2-4x+3)^3}$.
Числитель $6x^2-24x+26 > 0$ для всех $x$ (дискриминант отрицательный). Знак $f''(x)$ зависит от знаменателя $(x-1)^3(x-3)^3$.
- на $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый;
- на $(1, 3)$ $f''(x)<0$, график выпуклый.
Точек перегиба нет.

Ответ: $D(f) = (-\infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$. Вертикальные асимптоты $x=1, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Локальный максимум в $(2, -1)$. Возрастает на $(-\infty, 1) \cup (1, 2)$, убывает на $(2, 3) \cup (3, +\infty)$. График вогнутый на $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$ и выпуклый на $(1, 3)$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 1}$

1. Область определения.
$x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm1$. $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$.

2. Четность и нечетность.
$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 1} = -\frac{x}{x^2-1} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.
$x=0 \Rightarrow f(0)=0$. Пересечение с осями в точке $(0, 0)$.

4. Асимптоты.
Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=1$.
Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-1} = 0$. $y=0$ - горизонтальная асимптота.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.
$f'(x) = \frac{1(x^2-1) - x(2x)}{(x^2-1)^2} = \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} = -\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$.
$f'(x) < 0$ для всех $x$ из области определения. Функция всегда убывает на каждом из интервалов своей области определения. Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба.
$f''(x) = \frac{-2x(x^2-1)^2 - (-x^2-1) \cdot 2(x^2-1)(2x)}{(x^2-1)^4} = \frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
$f''(x)=0 \Rightarrow x=0$.
- на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ $f''(x)<0$, график выпуклый;
- на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$ $f''(x)>0$, график вогнутый.
В точке $x=0$ вторая производная меняет знак. Точка перегиба $(0, 0)$.

Ответ: Функция нечетная, $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, +\infty)$. Вертикальные асимптоты $x=\pm1$, горизонтальная $y=0$. Точек экстремума нет, функция всегда убывает на своей области определения. Точка перегиба $(0, 0)$. График выпуклый на $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$ и вогнутый на $(-1, 0) \cup (1, +\infty)$.