Страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $ \sqrt{x} - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0; $

2) $ 2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0; $

3) $ x - 27\sqrt[4]{x} = 0; $

4) $ \sqrt{x - 5} - 8 = 2\sqrt[4]{x - 5}; $

5) $ 4\sqrt[3]{x + 2} + 5 = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4}. $

1) Дано уравнение $\sqrt{x} - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется существованием корней: $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$, при этом $\sqrt{x} = (x^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{x})^2$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(\sqrt[4]{x})^2 - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$.

Решим его по теореме Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 6$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 8$. Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возведя обе части уравнения в четвертую степень, получим $x = 2^4 = 16$.

2. Если $t = 4$, то $\sqrt[4]{x} = 4$. Возведя обе части уравнения в четвертую степень, получим $x = 4^4 = 256$.

Оба значения ($16$ и $256$) удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что это верные решения.

Ответ: $16; 256$.

2) Дано уравнение $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корня шестой степени).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, при этом $\sqrt[3]{x} = (x^{1/6})^2 = (\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение:

$2(\sqrt[6]{x})^2 + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в шестую степень: $x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Значение $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

3) Дано уравнение $x - 27\sqrt[4]{x} = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Заметим, что $x = (\sqrt[4]{x})^4$. Уравнение можно переписать так:

$(\sqrt[4]{x})^4 - 27\sqrt[4]{x} = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$.

Уравнение для $t$:

$t^4 - 27t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t^3 - 27) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $t = 0$.

2. $t^3 - 27 = 0 \implies t^3 = 27 \implies t = 3$.

Оба значения $t=0$ и $t=3$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt[4]{x} = 0 \implies x = 0$.

2. Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 = 81$.

Оба корня $0$ и $81$ входят в ОДЗ.

Ответ: $0; 81$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $\sqrt{x-5} - 2\sqrt[4]{x-5} - 8 = 0$.

ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

Заметим, что $\sqrt{x-5} = (\sqrt[4]{x-5})^2$. Уравнение примет вид:

$(\sqrt[4]{x-5})^2 - 2\sqrt[4]{x-5} - 8 = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$, с условием $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он посторонний. Используем только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x-5} = 4$.

Возведем обе части в четвертую степень:

$x - 5 = 4^4 = 256$.

$x = 256 + 5 = 261$.

Корень $x = 261$ удовлетворяет ОДЗ ($261 \ge 5$).

Ответ: $261$.

5) Дано уравнение $4\sqrt[3]{x+2} + 5 = \sqrt[3]{x^2+4x+4}$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число, так как корень кубический определен для всех чисел.

Заметим, что выражение под вторым корнем является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$4\sqrt[3]{x+2} + 5 = \sqrt[3]{(x+2)^2}$.

Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:

$4\sqrt[3]{x+2} + 5 = (\sqrt[3]{x+2})^2$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{x+2}$. Для корня нечетной степени нет ограничений на знак, поэтому $t$ может быть любым действительным числом.

Уравнение для $t$:

$4t + 5 = t^2$.

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$t^2 - 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 4$, $t_1 \cdot t_2 = -5$. Корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Оба корня подходят. Выполним обратную замену для каждого:

1. Если $t = 5$, то $\sqrt[3]{x+2} = 5$. Возведем в куб: $x+2 = 5^3 = 125 \implies x = 123$.

2. Если $t = -1$, то $\sqrt[3]{x+2} = -1$. Возведем в куб: $x+2 = (-1)^3 = -1 \implies x = -3$.

Ответ: $-3; 123$.

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2;$

2) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-4} = 3;$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-9} = 6;$

4) $\sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} = 4;$

5) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{5x-9} = \sqrt{6x-14} + \sqrt{2x+6};$

6) $\sqrt{9-2x} + \sqrt{1-x} = 2\sqrt{4-x}.$

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5})^2 = (2 + \sqrt{x-3})^2$

$x+5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + (x-3)$

$x+5 = 1 + x + 4\sqrt{x-3}$

Упростим уравнение и выразим оставшийся корень:

$4 = 4\sqrt{x-3}$

$1 = \sqrt{x-3}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-3})^2$

$1 = x-3$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $4 \ge 3$, следовательно, корень подходит. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4+5} - \sqrt{4-3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x=4$.

2) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4}=3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 3 + \sqrt{x-4}$

Возведем обе части в квадрат:

$3x+1 = 9 + 6\sqrt{x-4} + (x-4)$

$3x+1 = 5 + x + 6\sqrt{x-4}$

Выразим корень:

$2x-4 = 6\sqrt{x-4}$

$x-2 = 3\sqrt{x-4}$

Так как из ОДЗ следует, что $x \ge 4$, то левая часть $x-2 \ge 2 > 0$, поэтому можно возводить в квадрат. Возведем в квадрат еще раз:

$(x-2)^2 = (3\sqrt{x-4})^2$

$x^2-4x+4 = 9(x-4)$

$x^2-4x+4 = 9x-36$

$x^2-13x+40 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1=5$ и $x_2=8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($5 \ge 4$ и $8 \ge 4$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.

При $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-4} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4-1=3$. Верно.

При $x=8$: $\sqrt{3(8)+1} - \sqrt{8-4} = \sqrt{25} - \sqrt{4} = 5-2=3$. Верно.

Ответ: $x=5; x=8$.

3) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-9}=6$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3x-9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Перенесем один корень в правую часть:

$\sqrt{3x-9} = 6 - \sqrt{x+3}$

Правая часть должна быть неотрицательной: $6 - \sqrt{x+3} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \le 6 \implies x+3 \le 36 \implies x \le 33$. Таким образом, корень должен лежать в интервале $[3, 33]$.

Возведем обе части в квадрат:

$3x-9 = (6 - \sqrt{x+3})^2$

$3x-9 = 36 - 12\sqrt{x+3} + (x+3)$

$3x-9 = 39 + x - 12\sqrt{x+3}$

Выразим корень:

$12\sqrt{x+3} = 39+x-3x+9$

$12\sqrt{x+3} = 48-2x$

$6\sqrt{x+3} = 24-x$

Возведем в квадрат еще раз (при условии $24-x \ge 0$, то есть $x \le 24$, что удовлетворяет ранее найденному $x \le 33$):

$36(x+3) = (24-x)^2$

$36x+108 = 576-48x+x^2$

$x^2-84x+468 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = (-84)^2 - 4(1)(468) = 7056 - 1872 = 5184 = 72^2$.

$x_1 = \frac{84-72}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{84+72}{2} = \frac{156}{2} = 78$.

Проверим корни. ОДЗ: $x \ge 3$. Дополнительное условие: $x \le 33$. Корень $x_2=78$ не подходит. Корень $x_1=6$ подходит.

Проверим корень $x=6$ подстановкой: $\sqrt{6+3} + \sqrt{3(6)-9} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3=6$. Верно.

Ответ: $x=6$.

4) $\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -5 \le x \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x})^2 = 4^2$

$(x+5) + 2\sqrt{(x+5)(5-x)} + (5-x) = 16$

$10 + 2\sqrt{25-x^2} = 16$

$2\sqrt{25-x^2} = 6$

$\sqrt{25-x^2} = 3$

Возведем в квадрат еще раз:

$25-x^2 = 9$

$x^2 = 16 \implies x_1=4, x_2=-4$.

Оба корня принадлежат ОДЗ $[-5, 5]$.

Проверка для $x=4$: $\sqrt{4+5}+\sqrt{5-4} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4$. Верно.

Проверка для $x=-4$: $\sqrt{-4+5}+\sqrt{5-(-4)} = \sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4$. Верно.

Ответ: $x=-4; x=4$.

5) $\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x-9}=\sqrt{6x-14}+\sqrt{2x+6}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ 5x-9 \ge 0 \\ 6x-14 \ge 0 \\ 2x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1.8 \\ x \ge 7/3 \\ x \ge -3 \end{cases}$. Самое сильное ограничение - $x \ge 7/3$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x-9})^2 = (\sqrt{6x-14}+\sqrt{2x+6})^2$

$(3x+1)+2\sqrt{(3x+1)(5x-9)}+(5x-9) = (6x-14)+2\sqrt{(6x-14)(2x+6)}+(2x+6)$

$8x-8+2\sqrt{(3x+1)(5x-9)} = 8x-8+2\sqrt{(6x-14)(2x+6)}$

Сокращаем $8x-8$ и делим на 2:

$\sqrt{(3x+1)(5x-9)} = \sqrt{(6x-14)(2x+6)}$

Возводим в квадрат еще раз:

$(3x+1)(5x-9) = (6x-14)(2x+6)$

$15x^2 - 22x - 9 = 12x^2 + 8x - 84$

$3x^2 - 30x + 75 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0 \implies x=5$.

Проверим корень. $5 \ge 7/3$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Проверка подстановкой:

ЛЧ: $\sqrt{3(5)+1}+\sqrt{5(5)-9} = \sqrt{16}+\sqrt{16} = 4+4=8$.

ПЧ: $\sqrt{6(5)-14}+\sqrt{2(5)+6} = \sqrt{16}+\sqrt{16} = 4+4=8$.

Равенство верно.

Ответ: $x=5$.

6) $\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{4-x}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 9-2x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4.5 \\ x \le 1 \\ x \le 4 \end{cases} \implies x \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x})^2 = (2\sqrt{4-x})^2$

$(9-2x) + 2\sqrt{(9-2x)(1-x)} + (1-x) = 4(4-x)$

$10-3x + 2\sqrt{2x^2-11x+9} = 16-4x$

Выразим корень:

$2\sqrt{2x^2-11x+9} = 16-4x-(10-3x)$

$2\sqrt{2x^2-11x+9} = 6-x$

Для $x \le 1$ правая часть $6-x \ge 5 > 0$, так что можно возводить в квадрат. Возведем в квадрат еще раз:

$4(2x^2-11x+9) = (6-x)^2$

$8x^2-44x+36 = 36-12x+x^2$

$7x^2-32x = 0$

$x(7x-32) = 0$

Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=32/7$.

Проверяем по ОДЗ ($x \le 1$).

$x_1=0$ подходит. $x_2=32/7 \approx 4.57$ не подходит.

Проверим корень $x=0$ подстановкой: $\sqrt{9-0}+\sqrt{1-0} = 3+1 = 4$ и $2\sqrt{4-0} = 2\sqrt{4} = 4$. Верно.

Ответ: $x=0$.

128. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $x^2 + 2\sqrt{41 - x^2} = 26;$

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x - 2} = 8;$

3) $\sqrt{\frac{x + 4}{x - 4}} - 2\sqrt{\frac{x - 4}{x + 4}} = \frac{7}{3};$

4) $x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x^5} = 3;$

5) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2.$

1) $x^2 + 2\sqrt{41 - x^2} = 26$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $41 - x^2 \ge 0$, откуда $x^2 \le 41$.

Для решения уравнения используем метод замены переменной. Пусть $t = \sqrt{41 - x^2}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, $t \ge 0$.

Из введённой замены выразим $x^2$. Для этого возведем обе части равенства $t = \sqrt{41 - x^2}$ в квадрат: $t^2 = 41 - x^2$, откуда $x^2 = 41 - t^2$.

Подставим $t$ и выражение для $x^2$ в исходное уравнение:

$(41 - t^2) + 2t = 26$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$:

$-t^2 + 2t + 41 - 26 = 0$

$-t^2 + 2t + 15 = 0$

Умножим уравнение на $-1$ для удобства:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -15. Корнями являются $t_1 = 5$ и $t_2 = -3$.

Учитывая ограничение $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ является посторонним. Следовательно, подходит только $t = 5$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt{41 - x^2} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$41 - x^2 = 25$

$x^2 = 41 - 25$

$x^2 = 16$

Из этого уравнения получаем два корня: $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x^2 \le 41$). Для обоих корней $(\pm 4)^2 = 16$, что меньше 41. Значит, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = -4, x = 4$.

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x - 2} = 8$

ОДЗ: $x^2 - x - 2 \ge 0$. Решим неравенство, найдя корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1] \cup [2, \infty)$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x - 2}$. По определению $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - x - 2$, откуда можно выразить $x^2 - x = t^2 + 2$.

Подставим в исходное уравнение:

$(t^2 + 2) + t = 8$

Приведем к стандартному виду:

$t^2 + t - 6 = 0$

По теореме Виета, $t_1 = 2$ и $t_2 = -3$.

Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -3$ не подходит.

Выполняем обратную замену для $t=2$:

$\sqrt{x^2 - x - 2} = 2$

Возводим в квадрат обе части:

$x^2 - x - 2 = 4$

$x^2 - x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $3 \in [2, \infty)$ и $-2 \in (-\infty, -1]$.

Ответ: $x = -2, x = 3$.

3) $\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} - 2\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{7}{3}$

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть строго положительны (так как они также находятся в знаменателе), т.е. $\frac{x+4}{x-4} > 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$.

Заметим, что второе подкоренное выражение является обратным к первому. Сделаем замену: $t = \sqrt{\frac{x+4}{x-4}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x-4}{x+4}} = \frac{1}{t}$. По определению корня, $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t - 2\frac{1}{t} = \frac{7}{3}$

Умножим обе части на $3t$ (это возможно, так как $t \neq 0$):

$3t^2 - 6 = 7t$

$3t^2 - 7t - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4(3)(-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни $t_{1,2} = \frac{7 \pm 11}{6}$.

$t_1 = \frac{7+11}{6} = 3$

$t_2 = \frac{7-11}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$

Условию $t > 0$ удовлетворяет только $t_1 = 3$.

Вернемся к замене:

$\sqrt{\frac{x+4}{x-4}} = 3$

Возведем в квадрат:

$\frac{x+4}{x-4} = 9$

$x+4 = 9(x-4)$

$x+4 = 9x - 36$

$8x = 40$

$x = 5$

Корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 5$.

4) $x\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[8]{x^5} = 3$

ОДЗ: $x \ge 0$.

Преобразуем уравнение, записав корни в виде степеней:

$x^1 \cdot x^{1/4} + 2(x^5)^{1/8} = 3$

$x^{5/4} + 2x^{5/8} = 3$

Заметим, что $x^{5/4} = (x^{5/8})^2$. Это позволяет сделать замену. Пусть $t = x^{5/8}$. Так как $x \ge 0$, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 + 2t = 3$

$t^2 + 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1=1$.

Выполняем обратную замену:

$x^{5/8} = 1$

Возведя обе части в степень $8/5$, получаем:

$x = 1^{8/5} \implies x=1$

Корень $x=1$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 1$.

5) $3x^2 + 15x + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$

ОДЗ: $x^2 + 5x + 1 \ge 0$.

Преобразуем левую часть уравнения, вынеся общий множитель:

$3(x^2 + 5x) + 2\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 2$

Введем замену. Пусть $t = \sqrt{x^2 + 5x + 1}$, где $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = x^2 + 5x + 1$, откуда $x^2 + 5x = t^2 - 1$.

Подставим в уравнение:

$3(t^2 - 1) + 2t = 2$

$3t^2 - 3 + 2t - 2 = 0$

$3t^2 + 2t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 2^2 - 4(3)(-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.

$t_{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{6}$

$t_1 = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

Условию $t \ge 0$ удовлетворяет только $t_1 = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 + 5x + 1} = 1$

Возведем в квадрат:

$x^2 + 5x + 1 = 1$

$x^2 + 5x = 0$

$x(x+5) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x^2 + 5x + 1 \ge 0$).

Для $x=0$: $0^2 + 5(0) + 1 = 1 \ge 0$. Корень подходит.

Для $x=-5$: $(-5)^2 + 5(-5) + 1 = 25 - 25 + 1 = 1 \ge 0$. Корень подходит.

Ответ: $x = -5, x = 0$.

129. Решите уравнение

$\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6.$

Дано уравнение: $\sqrt{x + 6 + 2\sqrt{x + 5}} + \sqrt{x + 6 - 2\sqrt{x + 5}} = 6$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под внутренним корнем должно быть неотрицательным: $x + 5 \geq 0$, откуда $x \geq -5$.

Заметим, что выражения под внешними корнями можно упростить, выделив полные квадраты по формуле $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Рассмотрим первое подкоренное выражение $x + 6 + 2\sqrt{x + 5}$. Представим $x+6$ как $(x+5)+1$:

$(x+5) + 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5})^2 + 2 \cdot \sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} + 1)^2$.

Аналогично для второго подкоренного выражения $x + 6 - 2\sqrt{x + 5}$:

$(x+5) - 2\sqrt{x+5} + 1 = (\sqrt{x+5})^2 - 2 \cdot \sqrt{x+5} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x+5} - 1)^2$.

Поскольку оба этих выражения являются полными квадратами, они всегда неотрицательны. Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \geq -5$.

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$\sqrt{(\sqrt{x + 5} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x + 5} - 1)^2} = 6$.

Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, уравнение принимает вид:

$|\sqrt{x + 5} + 1| + |\sqrt{x + 5} - 1| = 6$.

Раскроем модули. Так как $\sqrt{x+5} \geq 0$ при $x \geq -5$, то сумма $\sqrt{x+5}+1$ всегда положительна. Следовательно, $|\sqrt{x + 5} + 1| = \sqrt{x + 5} + 1$.

Уравнение упрощается до:

$\sqrt{x + 5} + 1 + |\sqrt{x + 5} - 1| = 6$.

Для раскрытия второго модуля необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака выражения $\sqrt{x + 5} - 1$.

Первый случай: $\sqrt{x + 5} - 1 \geq 0$. Это условие выполняется, когда $\sqrt{x + 5} \geq 1$, то есть $x + 5 \geq 1$, что означает $x \geq -4$. В этом случае $|\sqrt{x + 5} - 1| = \sqrt{x + 5} - 1$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x + 5} + 1) + (\sqrt{x + 5} - 1) = 6$

$2\sqrt{x + 5} = 6$

$\sqrt{x + 5} = 3$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x + 5 = 9$, откуда $x = 4$.

Найденный корень $x=4$ удовлетворяет условию $x \geq -4$, поэтому является решением.

Второй случай: $\sqrt{x + 5} - 1 < 0$. Это условие выполняется, когда $0 \leq \sqrt{x + 5} < 1$, то есть $0 \leq x + 5 < 1$, что означает $-5 \leq x < -4$. В этом случае $|\sqrt{x + 5} - 1| = -(\sqrt{x + 5} - 1) = 1 - \sqrt{x + 5}$.

Уравнение становится:

$(\sqrt{x + 5} + 1) + (1 - \sqrt{x + 5}) = 6$

$2 = 6$

Это неверное равенство, следовательно, в диапазоне $-5 \leq x < -4$ решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем единственное решение $x = 4$.

Выполним проверку. Подставим $x = 4$ в исходное уравнение:

$\sqrt{4 + 6 + 2\sqrt{4 + 5}} + \sqrt{4 + 6 - 2\sqrt{4 + 5}} = \sqrt{10 + 2\sqrt{9}} + \sqrt{10 - 2\sqrt{9}} = \sqrt{10 + 2 \cdot 3} + \sqrt{10 - 2 \cdot 3} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$.

Равенство $6=6$ верно.

Ответ: $4$.

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[18]{x+4} = \sqrt[14]{-x-6};$

2) $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{2-x} = \sqrt{2};$

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{30-6x} = 3x;$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1) $\sqrt[18]{x+4} = \sqrt[14]{-x-6}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Так как корни имеют четные степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

Из левой части уравнения получаем:

$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Из правой части уравнения получаем:

$-x - 6 \ge 0 \implies -x \ge 6 \implies x \le -6$

ОДЗ представляет собой пересечение этих двух условий: $x \ge -4$ и $x \le -6$.

Система неравенств $\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le -6 \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно -4 и меньше или равно -6. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Поскольку область допустимых значений пуста, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2) $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{2-x} = \sqrt{2}$

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$

Пересечением этих условий является $x \le 2$.

Объединим корни в левой части уравнения:

$\sqrt{(3-x)(2-x)} = \sqrt{2}$

Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(3-x)(2-x) = 2$

Раскроем скобки:

$6 - 3x - 2x + x^2 = 2$

$x^2 - 5x + 6 - 2 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 2$):

$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \le 2$.

$x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1.

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{30-6x} = 3x$

Найдем ОДЗ:

$x \ge 0$

$30 - 6x \ge 0 \implies 30 \ge 6x \implies x \le 5$

Также, левая часть уравнения (произведение корней) неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже учтено.

Итак, ОДЗ: $0 \le x \le 5$.

Объединим корни в левой части:

$\sqrt{x(30-6x)} = 3x$

Возведем обе части в квадрат:

$x(30-6x) = (3x)^2$

$30x - 6x^2 = 9x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$15x^2 - 30x = 0$

Вынесем общий множитель $15x$ за скобки:

$15x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$15x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$, принадлежат ОДЗ ($0 \le x \le 5$).

Ответ: 0; 2.

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным, а под корнем в правой части — неотрицательным.

$3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$

Пересечением этих условий является $x > -1/3$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x+1}$ (это возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{3x+1} > 0$):

$x+1 = \sqrt{2x+1} \cdot \sqrt{3x+1}$

$x+1 = \sqrt{(2x+1)(3x+1)}$

Для $x > -1/3$ левая часть $x+1 > -1/3 + 1 = 2/3 > 0$. Так как обе части неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$

$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 2x + 3x + 1$

$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 5x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$5x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(5x+3) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$5x + 3 = 0 \implies x_2 = -3/5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3 \approx -0.33$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1/3$.

$x_2 = -3/5 = -0.6$ не удовлетворяет условию $-0.6 > -1/3$, так как $-0.6 < -0.33$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: 0.