Номер 130, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Решите уравнение:

1) $\sqrt[18]{x+4} = \sqrt[14]{-x-6};$

2) $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{2-x} = \sqrt{2};$

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{30-6x} = 3x;$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1) $\sqrt[18]{x+4} = \sqrt[14]{-x-6}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения. Так как корни имеют четные степени, подкоренные выражения должны быть неотрицательными.

Из левой части уравнения получаем:

$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$

Из правой части уравнения получаем:

$-x - 6 \ge 0 \implies -x \ge 6 \implies x \le -6$

ОДЗ представляет собой пересечение этих двух условий: $x \ge -4$ и $x \le -6$.

Система неравенств $\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le -6 \end{cases}$ не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно больше или равно -4 и меньше или равно -6. Следовательно, ОДЗ является пустым множеством.

Поскольку область допустимых значений пуста, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2) $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{2-x} = \sqrt{2}$

Найдем ОДЗ. Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$3 - x \ge 0 \implies x \le 3$

$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$

Пересечением этих условий является $x \le 2$.

Объединим корни в левой части уравнения:

$\sqrt{(3-x)(2-x)} = \sqrt{2}$

Так как обе части уравнения неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(3-x)(2-x) = 2$

Раскроем скобки:

$6 - 3x - 2x + x^2 = 2$

$x^2 - 5x + 6 - 2 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \le 2$):

$x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \le 2$.

$x_2 = 4$ не удовлетворяет условию $4 \le 2$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 1.

3) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{30-6x} = 3x$

Найдем ОДЗ:

$x \ge 0$

$30 - 6x \ge 0 \implies 30 \ge 6x \implies x \le 5$

Также, левая часть уравнения (произведение корней) неотрицательна, значит, и правая часть должна быть неотрицательной: $3x \ge 0 \implies x \ge 0$. Это условие уже учтено.

Итак, ОДЗ: $0 \le x \le 5$.

Объединим корни в левой части:

$\sqrt{x(30-6x)} = 3x$

Возведем обе части в квадрат:

$x(30-6x) = (3x)^2$

$30x - 6x^2 = 9x^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$15x^2 - 30x = 0$

Вынесем общий множитель $15x$ за скобки:

$15x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$15x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Оба корня, $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$, принадлежат ОДЗ ($0 \le x \le 5$).

Ответ: 0; 2.

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным, а под корнем в правой части — неотрицательным.

$3x + 1 > 0 \implies 3x > -1 \implies x > -1/3$

$2x + 1 \ge 0 \implies 2x \ge -1 \implies x \ge -1/2$

Пересечением этих условий является $x > -1/3$.

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3x+1}$ (это возможно, так как в ОДЗ $\sqrt{3x+1} > 0$):

$x+1 = \sqrt{2x+1} \cdot \sqrt{3x+1}$

$x+1 = \sqrt{(2x+1)(3x+1)}$

Для $x > -1/3$ левая часть $x+1 > -1/3 + 1 = 2/3 > 0$. Так как обе части неотрицательны, можем возвести их в квадрат:

$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$

$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 2x + 3x + 1$

$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 5x + 1$

Перенесем все члены в правую часть:

$5x^2 + 3x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(5x+3) = 0$

Получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$5x + 3 = 0 \implies x_2 = -3/5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > -1/3 \approx -0.33$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $0 > -1/3$.

$x_2 = -3/5 = -0.6$ не удовлетворяет условию $-0.6 > -1/3$, так как $-0.6 < -0.33$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x=0$.

Ответ: 0.