Номер 137, страница 129 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Решите неравенство:

1) $\sqrt{x+24} > x-6$;

2) $\sqrt{21-10x} \ge 2x-3$;

3) $\sqrt{x^2+5x-6} > 2-x$;

4) $\sqrt{-x^2-4x-3} \ge x+3$.

1) Решим неравенство $\sqrt{x+24} > x-6$.
Это иррациональное неравенство вида $\sqrt{f(x)} > g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) > (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши функции:

а) $\begin{cases} x-6 < 0 \\ x+24 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 6 \\ x \geq -24 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in [-24, 6)$.

б) $\begin{cases} x-6 \geq 0 \\ x+24 > (x-6)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x+24 > x^2 - 12x + 36 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 6 \\ x^2 - 13x + 12 < 0 \end{cases}$.
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 13x + 12 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = 1$, $x_2 = 12$.
Неравенство $x^2 - 13x + 12 < 0$ выполняется при $x \in (1, 12)$.
Найдем пересечение с условием $x \geq 6$: $x \in [6, 12)$.

Объединим решения обеих систем: $[-24, 6) \cup [6, 12) = [-24, 12)$.
Ответ: $x \in [-24, 12)$.

2) Решим неравенство $\sqrt{21-10x} \geq 2x-3$.
Это неравенство вида $\sqrt{f(x)} \geq g(x)$, которое равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} g(x) < 0 \\ f(x) \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} g(x) \geq 0 \\ f(x) \geq (g(x))^2 \end{cases}$

Подставим наши функции:

а) $\begin{cases} 2x-3 < 0 \\ 21-10x \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ -10x \geq -21 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ x \leq 2.1 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (-\infty, 1.5)$.

б) $\begin{cases} 2x-3 \geq 0 \\ 21-10x \geq (2x-3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 21-10x \geq 4x^2 - 12x + 9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 4x^2 - 2x - 12 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq 1.5 \\ 2x^2 - x - 6 \leq 0 \end{cases}$.
Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = (-1)^2 - 4(2)(-6) = 1+48=49$.
$x_1 = \frac{1-7}{4} = -1.5$, $x_2 = \frac{1+7}{4} = 2$.
Неравенство $2x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется при $x \in [-1.5, 2]$.
Найдем пересечение с условием $x \geq 1.5$: $x \in [1.5, 2]$.

Объединим решения обеих систем: $(-\infty, 1.5) \cup [1.5, 2] = (-\infty, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

3) Решим неравенство $\sqrt{x^2+5x-6} > 2-x$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем:

а) $\begin{cases} 2-x < 0 \\ x^2+5x-6 \geq 0 \end{cases}$ или б) $\begin{cases} 2-x \geq 0 \\ x^2+5x-6 > (2-x)^2 \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) из условия $x^2+5x-6 \geq 0$.
Корни уравнения $x^2+5x-6=0$ равны $x_1=-6$ и $x_2=1$. ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty)$.

а) $\begin{cases} x > 2 \\ x \in (-\infty, -6] \cup [1, \infty) \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (2, \infty)$.

б) $\begin{cases} x \leq 2 \\ x^2+5x-6 > 4-4x+x^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ 9x > 10 \end{cases} \implies \begin{cases} x \leq 2 \\ x > 10/9 \end{cases}$.
Решением этой системы является промежуток $x \in (10/9, 2]$. Этот промежуток входит в ОДЗ, так как $10/9 > 1$.

Объединим решения обеих систем: $(10/9, 2] \cup (2, \infty) = (10/9, \infty)$.
Ответ: $x \in (10/9, \infty)$.

4) Решим неравенство $\sqrt{-x^2-4x-3} \geq x+3$.
Неравенство равносильно совокупности двух систем при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

Найдем ОДЗ: $-x^2-4x-3 \geq 0 \implies x^2+4x+3 \leq 0$.
Корни уравнения $x^2+4x+3=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-1$.
ОДЗ: $x \in [-3, -1]$.

а) $\begin{cases} x+3 < 0 \\ x \in [-3, -1] \end{cases} \implies \begin{cases} x < -3 \\ x \in [-3, -1] \end{cases}$.
Эта система не имеет решений.

б) $\begin{cases} x+3 \geq 0 \\ -x^2-4x-3 \geq (x+3)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ -x^2-4x-3 \geq x^2+6x+9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ 2x^2+10x+12 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq -3 \\ x^2+5x+6 \leq 0 \end{cases}$.
Корни уравнения $x^2+5x+6=0$ равны $x_1=-3$ и $x_2=-2$.
Неравенство $x^2+5x+6 \leq 0$ выполняется при $x \in [-3, -2]$.
Пересекая с условием $x \geq -3$, получаем $x \in [-3, -2]$.
Это решение полностью входит в ОДЗ $x \in [-3, -1]$.

Поскольку первая система не имеет решений, общее решение неравенства совпадает с решением второй системы.
Ответ: $x \in [-3, -2]$.