Номер 126, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

1) $ \sqrt{x} - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0; $

2) $ 2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0; $

3) $ x - 27\sqrt[4]{x} = 0; $

4) $ \sqrt{x - 5} - 8 = 2\sqrt[4]{x - 5}; $

5) $ 4\sqrt[3]{x + 2} + 5 = \sqrt[3]{x^2 + 4x + 4}. $

1) Дано уравнение $\sqrt{x} - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для $x$ определяется существованием корней: $x \ge 0$.

Заметим, что $\sqrt{x} = x^{1/2}$ и $\sqrt[4]{x} = x^{1/4}$, при этом $\sqrt{x} = (x^{1/4})^2 = (\sqrt[4]{x})^2$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде:

$(\sqrt[4]{x})^2 - 6\sqrt[4]{x} + 8 = 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$. Поскольку корень четной степени не может быть отрицательным, на новую переменную накладывается условие $t \ge 0$.

Подставив $t$ в уравнение, получим квадратное уравнение:

$t^2 - 6t + 8 = 0$.

Решим его по теореме Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = 6$, а произведение $t_1 \cdot t_2 = 8$. Отсюда корни $t_1 = 2$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

1. Если $t = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$. Возведя обе части уравнения в четвертую степень, получим $x = 2^4 = 16$.

2. Если $t = 4$, то $\sqrt[4]{x} = 4$. Возведя обе части уравнения в четвертую степень, получим $x = 4^4 = 256$.

Оба значения ($16$ и $256$) удовлетворяют ОДЗ. Проверка подтверждает, что это верные решения.

Ответ: $16; 256$.

2) Дано уравнение $2\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$ (из-за наличия корня шестой степени).

Заметим, что $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$ и $\sqrt[6]{x} = x^{1/6}$, при этом $\sqrt[3]{x} = (x^{1/6})^2 = (\sqrt[6]{x})^2$. Перепишем уравнение:

$2(\sqrt[6]{x})^2 + 5\sqrt[6]{x} - 3 = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[6]{x}$. Условие для новой переменной: $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$.

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.

$t_1 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.

$t_2 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Корень $t_1 = -3$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним. Корень $t_2 = \frac{1}{2}$ подходит.

Выполним обратную замену для $t = \frac{1}{2}$:

$\sqrt[6]{x} = \frac{1}{2}$.

Возведем обе части в шестую степень: $x = (\frac{1}{2})^6 = \frac{1}{64}$.

Значение $x = \frac{1}{64}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $\frac{1}{64}$.

3) Дано уравнение $x - 27\sqrt[4]{x} = 0$.

ОДЗ: $x \ge 0$.

Заметим, что $x = (\sqrt[4]{x})^4$. Уравнение можно переписать так:

$(\sqrt[4]{x})^4 - 27\sqrt[4]{x} = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x}$, где $t \ge 0$.

Уравнение для $t$:

$t^4 - 27t = 0$.

Вынесем $t$ за скобки:

$t(t^3 - 27) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. $t = 0$.

2. $t^3 - 27 = 0 \implies t^3 = 27 \implies t = 3$.

Оба значения $t=0$ и $t=3$ удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

1. Если $t = 0$, то $\sqrt[4]{x} = 0 \implies x = 0$.

2. Если $t = 3$, то $\sqrt[4]{x} = 3 \implies x = 3^4 = 81$.

Оба корня $0$ и $81$ входят в ОДЗ.

Ответ: $0; 81$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x-5} - 8 = 2\sqrt[4]{x-5}$.

Перенесем все члены в одну сторону: $\sqrt{x-5} - 2\sqrt[4]{x-5} - 8 = 0$.

ОДЗ: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.

Заметим, что $\sqrt{x-5} = (\sqrt[4]{x-5})^2$. Уравнение примет вид:

$(\sqrt[4]{x-5})^2 - 2\sqrt[4]{x-5} - 8 = 0$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{x-5}$, с условием $t \ge 0$.

Получим квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 2$, $t_1 \cdot t_2 = -8$. Корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он посторонний. Используем только $t_1 = 4$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt[4]{x-5} = 4$.

Возведем обе части в четвертую степень:

$x - 5 = 4^4 = 256$.

$x = 256 + 5 = 261$.

Корень $x = 261$ удовлетворяет ОДЗ ($261 \ge 5$).

Ответ: $261$.

5) Дано уравнение $4\sqrt[3]{x+2} + 5 = \sqrt[3]{x^2+4x+4}$.

ОДЗ: $x$ — любое действительное число, так как корень кубический определен для всех чисел.

Заметим, что выражение под вторым корнем является полным квадратом: $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$4\sqrt[3]{x+2} + 5 = \sqrt[3]{(x+2)^2}$.

Используя свойство корня $(\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}$, получаем:

$4\sqrt[3]{x+2} + 5 = (\sqrt[3]{x+2})^2$.

Введем замену. Пусть $t = \sqrt[3]{x+2}$. Для корня нечетной степени нет ограничений на знак, поэтому $t$ может быть любым действительным числом.

Уравнение для $t$:

$4t + 5 = t^2$.

Перепишем в стандартном виде квадратного уравнения:

$t^2 - 4t - 5 = 0$.

По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 4$, $t_1 \cdot t_2 = -5$. Корни $t_1 = 5$ и $t_2 = -1$.

Оба корня подходят. Выполним обратную замену для каждого:

1. Если $t = 5$, то $\sqrt[3]{x+2} = 5$. Возведем в куб: $x+2 = 5^3 = 125 \implies x = 123$.

2. Если $t = -1$, то $\sqrt[3]{x+2} = -1$. Возведем в куб: $x+2 = (-1)^3 = -1 \implies x = -3$.

Ответ: $-3; 123$.