Номер 122, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Упростите выражение:

1) $\frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}+n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{n-m} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}}-n^{\frac{1}{2}}};$

2) $\frac{a^{\frac{1}{4}}-3,2}{a^{\frac{1}{2}}-4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}}-5}{5a^{\frac{1}{4}}-20} - \frac{a^{\frac{1}{4}}+4}{5a^{\frac{1}{4}}};$

3) $(\frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}+n^{\frac{1}{5}}} - \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}-n^{\frac{1}{5}}}) : \frac{m^{\frac{6}{5}}n^{\frac{1}{5}}-m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{6}{5}}}{m^{\frac{2}{5}}-n^{\frac{2}{5}}}.$

1) Для упрощения выражения $ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} - \frac{2n}{n-m} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $ преобразуем второй член.
Знаменатель второго члена $n-m = -(m-n)$. Тогда $-\frac{2n}{n-m} = \frac{2n}{m-n}$.
Выражение принимает вид: $ \frac{m^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} + \frac{2n}{m-n} - \frac{n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $.
Общий знаменатель для всех дробей - это $m-n$, так как $m-n = (m^{\frac{1}{2}})^2 - (n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})}{m-n} + \frac{2n}{m-n} - \frac{n^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}{m-n} $
Объединим числители под одним знаменателем:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) + 2n - n^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})}{m-n} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{m - m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + 2n - m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} - n}{m-n} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n}{m-n} $
Числитель является формулой квадрата разности: $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2$.
Знаменатель, как мы уже отмечали, является разностью квадратов: $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})$.
Получаем дробь: $ \frac{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}})} $.
Сокращаем общий множитель $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})$:
$ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} $.
Ответ: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}} $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{a^{\frac{1}{4}} - 3,2}{a^{\frac{1}{2}} - 4a^{\frac{1}{4}}} + \frac{a^{\frac{1}{4}} - 5}{5a^{\frac{1}{4}} - 20} - \frac{a^{\frac{1}{4}} + 4}{5a^{\frac{1}{4}}} $.
Для удобства введем замену $x = a^{\frac{1}{4}}$. Тогда $a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{4}})^2 = x^2$.
Выражение примет вид: $ \frac{x - 3,2}{x^2 - 4x} + \frac{x - 5}{5x - 20} - \frac{x + 4}{5x} $.
Разложим знаменатели на множители:
$ \frac{x - 3,2}{x(x-4)} + \frac{x - 5}{5(x-4)} - \frac{x + 4}{5x} $.
Общий знаменатель равен $5x(x-4)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$ \frac{5(x - 3,2)}{5x(x-4)} + \frac{x(x - 5)}{5x(x-4)} - \frac{(x-4)(x + 4)}{5x(x-4)} $
Запишем все под одной дробной чертой:
$ \frac{5(x - 3,2) + x(x - 5) - (x-4)(x+4)}{5x(x-4)} $
Раскроем скобки в числителе:
$ \frac{5x - 16 + x^2 - 5x - (x^2 - 16)}{5x(x-4)} = \frac{5x - 16 + x^2 - 5x - x^2 + 16}{5x(x-4)} $
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$ \frac{(x^2 - x^2) + (5x - 5x) + (-16 + 16)}{5x(x-4)} = \frac{0}{5x(x-4)} = 0 $.
Ответ: $0$

3) Рассмотрим выражение $ \left( \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}}} - \frac{m^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}} \right) : \frac{m^{\frac{6}{5}}n^{\frac{1}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{6}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
Выполним действия по шагам.
1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}) = m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$.
$ \frac{m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{1}{5}} - n^{\frac{1}{5}}) - m^{\frac{1}{5}}(m^{\frac{1}{5}} + n^{\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{(m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}) - (m^{\frac{2}{5}} + m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}})}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}} - m^{\frac{2}{5}} - m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
2. Упростим делитель. Вынесем в числителе общий множитель $m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}$ за скобки:
$ \frac{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} $.
3. Выполним деление. Разделить на дробь - это то же самое, что умножить на обратную ей.
$ \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} : \frac{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} = \frac{-2m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}}{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}} \cdot \frac{m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}}{m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}(m - n)} $.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $m^{\frac{2}{5}} - n^{\frac{2}{5}}$ и $m^{\frac{1}{5}}n^{\frac{1}{5}}$.
Получим: $ \frac{-2}{m-n} $.
Это выражение можно записать как $ \frac{2}{-(m-n)} = \frac{2}{n-m} $.
Ответ: $ \frac{2}{n-m} $