Номер 120, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Вынесите за скобки общий множитель:

1) $b - 4b^{\frac{1}{5}};$

2) $a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a;$

3) $9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}};$

4) $9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}};$

5) $7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}};$

6) $m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}.$

1) В выражении $b - 4b^{\frac{1}{5}}$ общим множителем является степень переменной $b$ с наименьшим показателем. Показатели степеней переменной $b$ равны 1 и $\frac{1}{5}$. Наименьший показатель — это $\frac{1}{5}$. Следовательно, выносим за скобки $b^{\frac{1}{5}}$.

$b - 4b^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{5}} \cdot b^{1 - \frac{1}{5}} - 4 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{5}{5} - \frac{1}{5}} - 4) = b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - 4)$.

Ответ: $b^{\frac{1}{5}}(b^{\frac{4}{5}} - 4)$.

2) В выражении $a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a$ общий множитель можно составить из степеней переменных $a$ и $b$. Перепишем выражение, указав все степени: $a^{\frac{4}{9}}b^1 - b^{\frac{4}{9}}a^1$. Наименьшая степень для $a$ из присутствующих в выражении — $a^{\frac{4}{9}}$, а для $b$ — $b^{\frac{4}{9}}$. Однако, ни $a^{\frac{4}{9}}$, ни $b^{\frac{4}{9}}$ не являются общими множителями для обоих членов. Можно вынести за скобку произведение $a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}$.

$a^{\frac{4}{9}}b - b^{\frac{4}{9}}a = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(\frac{a^{\frac{4}{9}}b^1}{a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}} - \frac{b^{\frac{4}{9}}a^1}{a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}}) = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{1-\frac{4}{9}} - a^{1-\frac{4}{9}}) = a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{9}} - a^{\frac{5}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{4}{9}}b^{\frac{4}{9}}(b^{\frac{5}{9}} - a^{\frac{5}{9}})$.

3) В выражении $9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}}$ найдем общий множитель для оснований 9 и 12. Разложим их на простые множители: $9=3^2$, $12=3 \cdot 4$. Общий множитель оснований — 3. Следовательно, мы можем вынести за скобки $3^{\frac{2}{5}}$.

$9^{\frac{2}{5}} - 12^{\frac{2}{5}} = (3 \cdot 3)^{\frac{2}{5}} - (3 \cdot 4)^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{2}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}} - 3^{\frac{2}{5}} \cdot 4^{\frac{2}{5}} = 3^{\frac{2}{5}}(3^{\frac{2}{5}} - 4^{\frac{2}{5}})$.

Ответ: $3^{\frac{2}{5}}(3^{\frac{2}{5}} - 4^{\frac{2}{5}})$.

4) В выражении $9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}}$ найдем общий множитель для числовых коэффициентов и для переменной. Наибольший общий делитель для 9 и 15 равен 3. Для переменной $a$ нужно вынести степень с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{3}{16}$ и $\frac{5}{8}$. Приведем к общему знаменателю: $\frac{5}{8} = \frac{10}{16}$. Так как $\frac{3}{16} < \frac{10}{16}$, наименьший показатель — $\frac{3}{16}$. Общий множитель всего выражения — $3a^{\frac{3}{16}}$.

$9a^{\frac{3}{16}} + 15a^{\frac{5}{8}} = 3a^{\frac{3}{16}}(3a^{\frac{3}{16}-\frac{3}{16}} + 5a^{\frac{5}{8}-\frac{3}{16}}) = 3a^{\frac{3}{16}}(3a^0 + 5a^{\frac{10}{16}-\frac{3}{16}}) = 3a^{\frac{3}{16}}(3 + 5a^{\frac{7}{16}})$.

Ответ: $3a^{\frac{3}{16}}(3 + 5a^{\frac{7}{16}})$.

5) В выражении $7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}}$ общим множителем является степень переменной $m$ с наименьшим показателем. Сравним показатели $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{9}$. Приведем к общему знаменателю 72: $\frac{1}{8} = \frac{9}{72}$ и $\frac{1}{9} = \frac{8}{72}$. Так как $\frac{8}{72} < \frac{9}{72}$, наименьший показатель — $\frac{1}{9}$. Выносим $m^{\frac{1}{9}}$ за скобки.

$7m^{\frac{1}{8}} - m^{\frac{1}{9}} = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{8}-\frac{1}{9}} - m^{\frac{1}{9}-\frac{1}{9}}) = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{9-8}{72}} - m^0) = m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{72}} - 1)$.

Ответ: $m^{\frac{1}{9}}(7m^{\frac{1}{72}} - 1)$.

6) В выражении $m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}$ найдем общий множитель для каждой переменной отдельно.
Для переменной $m$ показатели степеней равны $\frac{11}{12}$, $1=\frac{12}{12}$ и $\frac{1}{12}$. Наименьший показатель — $\frac{1}{12}$.
Для переменной $n$ показатели степеней равны $\frac{5}{7}$, $1=\frac{7}{7}$ и $\frac{3}{7}$. Наименьший показатель — $\frac{3}{7}$.
Таким образом, общий множитель для всего выражения — это $m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}$. Вынесем его за скобки:

$m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{5}{7}} - mn - m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}} = m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}} (m^{\frac{11}{12}-\frac{1}{12}}n^{\frac{5}{7}-\frac{3}{7}} - m^{1-\frac{1}{12}}n^{1-\frac{3}{7}} - m^{\frac{1}{12}-\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}-\frac{3}{7}})$.

Упростим показатели степеней в скобках:
$m^{\frac{10}{12}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - m^0n^0 = m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1$.

В результате получаем:
$m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1)$.

Ответ: $m^{\frac{1}{12}}n^{\frac{3}{7}}(m^{\frac{5}{6}}n^{\frac{2}{7}} - m^{\frac{11}{12}}n^{\frac{4}{7}} - 1)$.