Номер 114, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Упростите выражение:

1) $a^{-0,8} \cdot a^{1,3}$;

2) $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}};$

3) $(a^{-0,4})^8$;

4) $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{\frac{7}{12}} \cdot a^{-\frac{13}{24}};$

5) $(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}};$

6) $(a^3)^{-0,7} \cdot (a^{-0,4})^{-5} : (a^{-0,5})^8$;

7) $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{8}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$;

8) $\sqrt[4]{a} \cdot a^{\frac{2}{3}};$

9) $\sqrt[5]{a^3} \cdot a^{-\frac{4}{9}};$

10) $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{10}{3}};$

1) Для упрощения выражения $a^{-0,8} \cdot a^{1,3}$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
В данном случае необходимо сложить показатели степеней: $-0,8 + 1,3 = 0,5$.
Таким образом, получаем: $a^{-0,8} \cdot a^{1,3} = a^{-0,8 + 1,3} = a^{0,5}$.
Ответ: $a^{0,5}$.

2) Для упрощения выражения $a^{\frac{7}{9}} : a^{\frac{5}{6}}$ используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Нужно вычесть показатели степеней: $\frac{7}{9} - \frac{5}{6}$.
Приведем дроби к общему знаменателю 18: $\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} - \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{14}{18} - \frac{15}{18} = -\frac{1}{18}$.
Таким образом, выражение равно $a^{-\frac{1}{18}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{18}}$.

3) Для упрощения выражения $(a^{-0,4})^8$ используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Нужно перемножить показатели степеней: $-0,4 \cdot 8 = -3,2$.
Таким образом, получаем: $(a^{-0,4})^8 = a^{-3,2}$.
Ответ: $a^{-3,2}$.

4) Для упрощения выражения $a^{\frac{5}{8}} \cdot a^{\frac{7}{12}} \cdot a^{-\frac{13}{24}}$ воспользуемся свойством умножения степеней, сложив их показатели.
$a^{\frac{5}{8} + \frac{7}{12} - \frac{13}{24}}$.
Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 24:
$\frac{5 \cdot 3}{24} + \frac{7 \cdot 2}{24} - \frac{13}{24} = \frac{15 + 14 - 13}{24} = \frac{16}{24}$.
Сократим дробь: $\frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, выражение равно $a^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}}$.

5) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}}$ используем свойства $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(a^{\frac{1}{3}})^{\frac{6}{11}} \cdot (b^{\frac{4}{15}})^{\frac{6}{11}} = a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11}} \cdot b^{\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11}}$.
Вычислим показатель для $a$: $\frac{1}{3} \cdot \frac{6}{11} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}$.
Вычислим показатель для $b$: $\frac{4}{15} \cdot \frac{6}{11} = \frac{24}{165} = \frac{8}{55}$.
Таким образом, получаем $a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{11}}b^{\frac{8}{55}}$.

6) Упростим выражение $(a^3)^{-0,7} \cdot (a^{-0,4})^{-5} : (a^{-0,5})^8$ по шагам.
Сначала упростим каждый член, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(a^3)^{-0,7} = a^{3 \cdot (-0,7)} = a^{-2,1}$.
$(a^{-0,4})^{-5} = a^{-0,4 \cdot (-5)} = a^{2}$.
$(a^{-0,5})^8 = a^{-0,5 \cdot 8} = a^{-4}$.
Теперь объединим результаты: $a^{-2,1} \cdot a^{2} : a^{-4} = a^{-2,1 + 2 - (-4)} = a^{-0,1 + 4} = a^{3,9}$.
Ответ: $a^{3,9}$.

7) Упростим дробь $\frac{x^{\frac{1}{6}} \cdot x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{8}{9}} \cdot x^{\frac{1}{12}}}$.
Сначала упростим числитель и знаменатель, сложив показатели степеней.
Числитель: $x^{\frac{1}{6} + \frac{3}{4}} = x^{\frac{2}{12} + \frac{9}{12}} = x^{\frac{11}{12}}$.
Знаменатель: $x^{\frac{8}{9} + \frac{1}{12}} = x^{\frac{32}{36} + \frac{3}{36}} = x^{\frac{35}{36}}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели: $x^{\frac{11}{12} - \frac{35}{36}} = x^{\frac{33}{36} - \frac{35}{36}} = x^{-\frac{2}{36}} = x^{-\frac{1}{18}}$.
Ответ: $x^{-\frac{1}{18}}$.

8) Упростим выражение $\sqrt[4]{a} \cdot a^{\frac{2}{3}}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{2}{3}}$.
Сложим показатели: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.
Результат: $a^{\frac{11}{12}}$.
Ответ: $a^{\frac{11}{12}}$.

9) Упростим выражение $\sqrt[5]{a^3} \cdot a^{-\frac{4}{9}}$.
Представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[5]{a^3} = a^{\frac{3}{5}}$.
Теперь выражение имеет вид: $a^{\frac{3}{5}} \cdot a^{-\frac{4}{9}}$.
Сложим показатели: $\frac{3}{5} - \frac{4}{9} = \frac{27}{45} - \frac{20}{45} = \frac{7}{45}$.
Результат: $a^{\frac{7}{45}}$.
Ответ: $a^{\frac{7}{45}}$.

10) Упростим выражение $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} \cdot (a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}}$ по частям.
Первый множитель: $(\sqrt[3]{a^{-2}})^{\frac{3}{8}} = (a^{-\frac{2}{3}})^{\frac{3}{8}} = a^{-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8}} = a^{-\frac{6}{24}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Второй множитель: $(a^{-\frac{5}{6}})^{\frac{3}{10}} = a^{-\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{10}} = a^{-\frac{15}{60}} = a^{-\frac{1}{4}}$.
Перемножим полученные степени: $a^{-\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^{-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}} = a^{-\frac{2}{4}} = a^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{-\frac{1}{2}}$.