Номер 111, страница 125 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Замените арифметический корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[4]{m}$;

2) $\sqrt[6]{a^5}$;

3) $\sqrt[8]{4a}$;

4) $\sqrt[9]{4^{-4}}$;

5) $\sqrt[16]{(m-n)^{13}}$;

6) $\sqrt[16]{m^{13} - n^{13}}$.

1) Для замены арифметического корня степенью с дробным показателем используется формула $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $. В выражении $ \sqrt[4]{m} $ степень корня $ n=4 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=1 $ (поскольку $ m = m^1 $). Применяя формулу, получаем: $ \sqrt[4]{m} = m^{\frac{1}{4}} $.
Ответ: $ m^{\frac{1}{4}} $.

2) В выражении $ \sqrt[6]{a^5} $ степень корня $ n=6 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=5 $. По формуле $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $ получаем: $ \sqrt[6]{a^5} = a^{\frac{5}{6}} $.
Ответ: $ a^{\frac{5}{6}} $.

3) В выражении $ \sqrt[8]{4a} $ степень корня $ n=8 $. Подкоренное выражение $ 4a $ можно представить как $ (4a)^1 $, поэтому показатель степени $ k=1 $. Применяя формулу $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = 4a $, получаем: $ \sqrt[8]{4a} = (4a)^{\frac{1}{8}} $.
Ответ: $ (4a)^{\frac{1}{8}} $.

4) В выражении $ \sqrt[9]{4^{-4}} $ степень корня $ n=9 $, а показатель степени подкоренного выражения $ k=-4 $. По формуле $ \sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}} $ получаем: $ \sqrt[9]{4^{-4}} = 4^{\frac{-4}{9}} = 4^{-\frac{4}{9}} $.
Ответ: $ 4^{-\frac{4}{9}} $.

5) В выражении $ \sqrt[16]{(m-n)^{13}} $ степень корня $ n=16 $. Подкоренное выражение — это $ (m-n)^{13} $, где основание степени $ (m-n) $, а показатель $ k=13 $. Применяя формулу $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = m-n $, получаем: $ \sqrt[16]{(m-n)^{13}} = (m-n)^{\frac{13}{16}} $.
Ответ: $ (m-n)^{\frac{13}{16}} $.

6) В выражении $ \sqrt[16]{m^{13}-n^{13}} $ степень корня $ n=16 $. Подкоренное выражение — это $ m^{13}-n^{13} $. Его можно рассматривать как $ (m^{13}-n^{13})^1 $, поэтому показатель степени $ k=1 $. По формуле $ \sqrt[n]{x^k} = x^{\frac{k}{n}} $, где $ x = m^{13}-n^{13} $, получаем: $ \sqrt[16]{m^{13}-n^{13}} = (m^{13}-n^{13})^{\frac{1}{16}} $.
Ответ: $ (m^{13}-n^{13})^{\frac{1}{16}} $.