Номер 116, страница 126 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Упростите выражение:

1) $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) - (b^{\frac{1}{6}} - 2)^2;$

2) $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}}) - (5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}});$

3) $(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}});$

4) $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) - y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}}).$

1) Чтобы упростить выражение $b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) - (b^{\frac{1}{6}} - 2)^2$, раскроем скобки. Для первого слагаемого используем распределительное свойство умножения, а для второго — формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Раскрываем первую скобку:
$b^{\frac{1}{6}}(b^{\frac{1}{6}} - 4) = b^{\frac{1}{6}} \cdot b^{\frac{1}{6}} - 4 \cdot b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{6}+\frac{1}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{2}{6}} - 4b^{\frac{1}{6}} = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}$.
Раскрываем вторую скобку по формуле квадрата разности:
$(b^{\frac{1}{6}} - 2)^2 = (b^{\frac{1}{6}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{1}{6}} \cdot 2 + 2^2 = b^{\frac{1}{6}\cdot 2} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4 = b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4$.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$(b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}}) - (b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} + 4)$.
Раскроем вторые скобки, меняя знаки слагаемых на противоположные:
$b^{\frac{1}{3}} - 4b^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{3}} + 4b^{\frac{1}{6}} - 4$.
Приведем подобные слагаемые:
$(b^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) + (-4b^{\frac{1}{6}} + 4b^{\frac{1}{6}}) - 4 = 0 + 0 - 4 = -4$.
Ответ: $-4$.

2) Упростим выражение $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}}) - (5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}})$.
Первое произведение $(b^{\frac{1}{8}} - c^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{8}} + c^{\frac{1}{4}})$ является формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(b^{\frac{1}{8}})^2 - (c^{\frac{1}{4}})^2 = b^{\frac{2}{8}} - c^{\frac{2}{4}} = b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}$.
Второе произведение $(5b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}})(3b^{\frac{1}{8}} - 4c^{\frac{1}{4}})$ раскроем, перемножив каждый член первого многочлена на каждый член второго:
$5b^{\frac{1}{8}} \cdot 3b^{\frac{1}{8}} + 5b^{\frac{1}{8}} \cdot (-4c^{\frac{1}{4}}) + 2c^{\frac{1}{4}} \cdot 3b^{\frac{1}{8}} + 2c^{\frac{1}{4}} \cdot (-4c^{\frac{1}{4}}) = 15b^{\frac{1}{4}} - 20b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 6b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}}$.
Приведем подобные слагаемые: $15b^{\frac{1}{4}} - 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}}$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}}) - (15b^{\frac{1}{4}} - 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} - 8c^{\frac{1}{2}})$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$b^{\frac{1}{4}} - c^{\frac{1}{2}} - 15b^{\frac{1}{4}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 8c^{\frac{1}{2}} = (1-15)b^{\frac{1}{4}} + (-1+8)c^{\frac{1}{2}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} = -14b^{\frac{1}{4}} + 7c^{\frac{1}{2}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}}$.
Ответ: $-14b^{\frac{1}{4}} + 14b^{\frac{1}{8}}c^{\frac{1}{4}} + 7c^{\frac{1}{2}}$.

3) Для упрощения выражения $(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})$ будем последовательно применять формулу разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$.
Шаг 1: Перемножим первые две скобки.
$(a^{\frac{1}{24}} + b^{\frac{1}{24}})(a^{\frac{1}{24}} - b^{\frac{1}{24}}) = (a^{\frac{1}{24}})^2 - (b^{\frac{1}{24}})^2 = a^{\frac{2}{24}} - b^{\frac{2}{24}} = a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}}$.
Шаг 2: Умножим результат на третью скобку.
$(a^{\frac{1}{12}} - b^{\frac{1}{12}})(a^{\frac{1}{12}} + b^{\frac{1}{12}}) = (a^{\frac{1}{12}})^2 - (b^{\frac{1}{12}})^2 = a^{\frac{2}{12}} - b^{\frac{2}{12}} = a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}$.
Шаг 3: Умножим полученное выражение на последнюю скобку.
$(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.
Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

4) Рассмотрим выражение $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}}) - y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}})$.
Первая часть выражения $(x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{2}{3}})$ соответствует формуле суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$, где $a = x^{\frac{1}{3}}$ и $b = y^{\frac{1}{3}}$.
Применяя формулу, получаем: $(x^{\frac{1}{3}})^3 + (y^{\frac{1}{3}})^3 = x^1 + y^1 = x + y$.
Вторую часть выражения $- y^{\frac{5}{8}}(y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{1}{4}})$ упростим, раскрыв скобки:
$- (y^{\frac{5}{8}} \cdot y^{\frac{3}{8}} + y^{\frac{5}{8}} \cdot y^{\frac{1}{4}}) = - (y^{\frac{5}{8}+\frac{3}{8}} + y^{\frac{5}{8}+\frac{2}{8}}) = - (y^{\frac{8}{8}} + y^{\frac{7}{8}}) = - (y + y^{\frac{7}{8}})$.
Подставим упрощенные части в исходное выражение:
$(x+y) - (y + y^{\frac{7}{8}})$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x + y - y - y^{\frac{7}{8}} = x - y^{\frac{7}{8}}$.
Ответ: $x - y^{\frac{7}{8}}$.