Номер 123, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. Решите уравнение:

1) $\sqrt[10]{x+4} = -2;$

2) $\sqrt[5]{x+4} = -2;$

3) $\sqrt[4]{x+4} = \sqrt[4]{7-2x};$

4) $\sqrt{x+4} = \sqrt{2x+9};$

5) $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1};$

6) $\sqrt{x+4} = -x-4.$

1) Дано уравнение $\sqrt[10]{x+4} = -2$.

По определению, арифметический корень четной степени (в данном случае 10-й степени) от любого неотрицательного числа является неотрицательным числом. Это значит, что левая часть уравнения $\sqrt[10]{x+4}$ всегда больше или равна нулю ($\ge 0$) для всех $x$ из области определения ($x+4 \ge 0$).

Правая часть уравнения равна -2, что является отрицательным числом.

Поскольку неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: Корней нет.

2) Дано уравнение $\sqrt[5]{x+4} = -2$.

Корень нечетной степени (в данном случае 5-й степени) определен для любого действительного числа и может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Для решения уравнения возведем обе его части в 5-ю степень:

$(\sqrt[5]{x+4})^5 = (-2)^5$

$x+4 = -32$

Перенесем 4 в правую часть:

$x = -32 - 4$

$x = -36$

Сделаем проверку, подставив найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$\sqrt[5]{-36+4} = \sqrt[5]{-32} = -2$.

$-2 = -2$. Равенство верное.

Ответ: $x = -36$.

3) Дано уравнение $\sqrt[4]{x+4} = \sqrt[4]{7-2x}$.

Так как корни имеют четную степень (4-ю), подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 7-2x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ -2x \ge -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \le 3.5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-4; 3.5]$.

Поскольку степени корней в обеих частях уравнения одинаковы, мы можем приравнять подкоренные выражения:

$x+4 = 7-2x$

$x+2x = 7-4$

$3x = 3$

$x = 1$

Проверим, принадлежит ли найденный корень ОДЗ. Так как $1 \in [-4; 3.5]$, корень является решением уравнения.

Ответ: $x = 1$.

4) Дано уравнение $\sqrt{x+4} = \sqrt{2x+9}$.

Так как корни квадратные (четная степень), найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ 2x+9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ 2x \ge -9 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -4 \\ x \ge -4.5 \end{cases}$

Пересечением этих условий является $x \ge -4$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$(\sqrt{x+4})^2 = (\sqrt{2x+9})^2$

$x+4 = 2x+9$

$4-9 = 2x-x$

$x = -5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. Условие ОДЗ: $x \ge -4$. Найденный корень $x=-5$ не удовлетворяет этому условию (так как $-5 < -4$), следовательно, он является посторонним. Уравнение не имеет решений.

Ответ: Корней нет.

5) Дано уравнение $\sqrt[16]{x+4} = \sqrt[16]{x^2+5x-1}$.

Степень корня четная (16), поэтому подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x+4 \ge 0 \\ x^2+5x-1 \ge 0 \end{cases}$

Из первого неравенства получаем $x \ge -4$.

Для второго неравенства $x^2+5x-1 \ge 0$ найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+5x-1=0$ через дискриминант: $D = 5^2 - 4(1)(-1) = 29$. Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{29}}{2}] \cup [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$.

Объединяя оба условия ($x \ge -4$ и $x \in (-\infty; \frac{-5-\sqrt{29}}{2}] \cup [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$), получаем ОДЗ: $x \in [\frac{-5+\sqrt{29}}{2}; +\infty)$.

Теперь решим уравнение, приравняв подкоренные выражения:

$x+4 = x^2+5x-1$

$x^2+4x-5 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$.

Проверим корни на принадлежность ОДЗ. Приближенное значение $\frac{-5+\sqrt{29}}{2} \approx 0.19$.

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $x \ge 0.19$, значит, это верное решение.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию $x \ge 0.19$, значит, это посторонний корень.

Ответ: $x = 1$.

6) Дано уравнение $\sqrt{x+4} = -x-4$.

Найдем область допустимых значений. Во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+4 \ge 0 \implies x \ge -4$.

Во-вторых, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $-x-4 \ge 0 \implies -x \ge 4 \implies x \le -4$.

Система условий ОДЗ $\begin{cases} x \ge -4 \\ x \le -4 \end{cases}$ имеет единственное решение: $x = -4$.

Проверим, является ли $x=-4$ решением, подставив его в исходное уравнение:

$\sqrt{-4+4} = -(-4)-4$

$\sqrt{0} = 4-4$

$0 = 0$.

Равенство верное, следовательно, $x=-4$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x = -4$.