Номер 124, страница 127 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Решите уравнение:

1) $\sqrt{5x+1} = 1-x;$

2) $x + \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5.$

1) $\sqrt{5x + 1} = 1 - x$

Для решения данного иррационального уравнения необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, и правая часть уравнения (значение арифметического квадратного корня) также должна быть неотрицательной.

Составим систему неравенств:

$\begin{cases} 5x + 1 \ge 0 \\ 1 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим каждое неравенство:

1. $5x \ge -1 \implies x \ge -0.2$

2. $-x \ge -1 \implies x \le 1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [-0.2; 1]$.

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{5x + 1})^2 = (1 - x)^2$

$5x + 1 = 1 - 2x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 - 2x - 5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 7x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 7) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$ или $x_2 = 7$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \in [-0.2; 1]$).

Корень $x_1 = 0$ принадлежит ОДЗ, так как $-0.2 \le 0 \le 1$.

Корень $x_2 = 7$ не принадлежит ОДЗ, так как $7 > 1$. Следовательно, это посторонний корень.

Ответ: $0$

2) $x + \sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5$

Для решения этого уравнения сначала изолируем радикал (квадратный корень):

$\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем и значение корня (правая часть) должны быть неотрицательными.

$\begin{cases} 2x^2 - 14x + 13 \ge 0 \\ 5 - x \ge 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$5 - x \ge 0 \implies x \le 5$

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{2x^2 - 14x + 13} = 5 - x$ в квадрат:

$(\sqrt{2x^2 - 14x + 13})^2 = (5 - x)^2$

$2x^2 - 14x + 13 = 25 - 10x + x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 14x + 10x + 13 - 25 = 0$

$x^2 - 4x - 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а их произведение равно $-12$. Корни: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \le 5$.

Корень $x_1 = 6$ не удовлетворяет условию $6 \le 5$, следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет условию $-2 \le 5$. Теперь необходимо проверить его подстановкой в исходное уравнение, чтобы убедиться, что он не является посторонним.

Проверка для $x = -2$:

$-2 + \sqrt{2(-2)^2 - 14(-2) + 13} = -2 + \sqrt{2(4) + 28 + 13} = -2 + \sqrt{8 + 28 + 13} = -2 + \sqrt{49} = -2 + 7 = 5$.

$5 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $-2$