Номер 127, страница 128 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x+5} - \sqrt{x-3} = 2;$

2) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-4} = 3;$

3) $\sqrt{x+3} + \sqrt{3x-9} = 6;$

4) $\sqrt{x+5} + \sqrt{5-x} = 4;$

5) $\sqrt{3x+1} + \sqrt{5x-9} = \sqrt{6x-14} + \sqrt{2x+6};$

6) $\sqrt{9-2x} + \sqrt{1-x} = 2\sqrt{4-x}.$

1) $\sqrt{x+5}-\sqrt{x-3}=2$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

$\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ x-3 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Перенесем один из корней в правую часть уравнения:

$\sqrt{x+5} = 2 + \sqrt{x-3}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5})^2 = (2 + \sqrt{x-3})^2$

$x+5 = 4 + 4\sqrt{x-3} + (x-3)$

$x+5 = 1 + x + 4\sqrt{x-3}$

Упростим уравнение и выразим оставшийся корень:

$4 = 4\sqrt{x-3}$

$1 = \sqrt{x-3}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$1^2 = (\sqrt{x-3})^2$

$1 = x-3$

$x = 4$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ. $4 \ge 3$, следовательно, корень подходит. Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{4+5} - \sqrt{4-3} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$. Равенство верно.

Ответ: $x=4$.

2) $\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4}=3$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ x-4 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 4 \end{cases} \implies x \ge 4$.

Перенесем корень в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 3 + \sqrt{x-4}$

Возведем обе части в квадрат:

$3x+1 = 9 + 6\sqrt{x-4} + (x-4)$

$3x+1 = 5 + x + 6\sqrt{x-4}$

Выразим корень:

$2x-4 = 6\sqrt{x-4}$

$x-2 = 3\sqrt{x-4}$

Так как из ОДЗ следует, что $x \ge 4$, то левая часть $x-2 \ge 2 > 0$, поэтому можно возводить в квадрат. Возведем в квадрат еще раз:

$(x-2)^2 = (3\sqrt{x-4})^2$

$x^2-4x+4 = 9(x-4)$

$x^2-4x+4 = 9x-36$

$x^2-13x+40 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1=5$ и $x_2=8$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($5 \ge 4$ и $8 \ge 4$). Проверим их подстановкой в исходное уравнение.

При $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-4} = \sqrt{16} - \sqrt{1} = 4-1=3$. Верно.

При $x=8$: $\sqrt{3(8)+1} - \sqrt{8-4} = \sqrt{25} - \sqrt{4} = 5-2=3$. Верно.

Ответ: $x=5; x=8$.

3) $\sqrt{x+3}+\sqrt{3x-9}=6$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ 3x-9 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 3 \end{cases} \implies x \ge 3$.

Перенесем один корень в правую часть:

$\sqrt{3x-9} = 6 - \sqrt{x+3}$

Правая часть должна быть неотрицательной: $6 - \sqrt{x+3} \ge 0 \implies \sqrt{x+3} \le 6 \implies x+3 \le 36 \implies x \le 33$. Таким образом, корень должен лежать в интервале $[3, 33]$.

Возведем обе части в квадрат:

$3x-9 = (6 - \sqrt{x+3})^2$

$3x-9 = 36 - 12\sqrt{x+3} + (x+3)$

$3x-9 = 39 + x - 12\sqrt{x+3}$

Выразим корень:

$12\sqrt{x+3} = 39+x-3x+9$

$12\sqrt{x+3} = 48-2x$

$6\sqrt{x+3} = 24-x$

Возведем в квадрат еще раз (при условии $24-x \ge 0$, то есть $x \le 24$, что удовлетворяет ранее найденному $x \le 33$):

$36(x+3) = (24-x)^2$

$36x+108 = 576-48x+x^2$

$x^2-84x+468 = 0$

Решим квадратное уравнение. $D = (-84)^2 - 4(1)(468) = 7056 - 1872 = 5184 = 72^2$.

$x_1 = \frac{84-72}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$x_2 = \frac{84+72}{2} = \frac{156}{2} = 78$.

Проверим корни. ОДЗ: $x \ge 3$. Дополнительное условие: $x \le 33$. Корень $x_2=78$ не подходит. Корень $x_1=6$ подходит.

Проверим корень $x=6$ подстановкой: $\sqrt{6+3} + \sqrt{3(6)-9} = \sqrt{9} + \sqrt{9} = 3+3=6$. Верно.

Ответ: $x=6$.

4) $\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=4$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} x+5 \ge 0 \\ 5-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -5 \\ x \le 5 \end{cases} \implies -5 \le x \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x})^2 = 4^2$

$(x+5) + 2\sqrt{(x+5)(5-x)} + (5-x) = 16$

$10 + 2\sqrt{25-x^2} = 16$

$2\sqrt{25-x^2} = 6$

$\sqrt{25-x^2} = 3$

Возведем в квадрат еще раз:

$25-x^2 = 9$

$x^2 = 16 \implies x_1=4, x_2=-4$.

Оба корня принадлежат ОДЗ $[-5, 5]$.

Проверка для $x=4$: $\sqrt{4+5}+\sqrt{5-4} = \sqrt{9}+\sqrt{1} = 3+1=4$. Верно.

Проверка для $x=-4$: $\sqrt{-4+5}+\sqrt{5-(-4)} = \sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4$. Верно.

Ответ: $x=-4; x=4$.

5) $\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x-9}=\sqrt{6x-14}+\sqrt{2x+6}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 3x+1 \ge 0 \\ 5x-9 \ge 0 \\ 6x-14 \ge 0 \\ 2x+6 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1/3 \\ x \ge 1.8 \\ x \ge 7/3 \\ x \ge -3 \end{cases}$. Самое сильное ограничение - $x \ge 7/3$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x-9})^2 = (\sqrt{6x-14}+\sqrt{2x+6})^2$

$(3x+1)+2\sqrt{(3x+1)(5x-9)}+(5x-9) = (6x-14)+2\sqrt{(6x-14)(2x+6)}+(2x+6)$

$8x-8+2\sqrt{(3x+1)(5x-9)} = 8x-8+2\sqrt{(6x-14)(2x+6)}$

Сокращаем $8x-8$ и делим на 2:

$\sqrt{(3x+1)(5x-9)} = \sqrt{(6x-14)(2x+6)}$

Возводим в квадрат еще раз:

$(3x+1)(5x-9) = (6x-14)(2x+6)$

$15x^2 - 22x - 9 = 12x^2 + 8x - 84$

$3x^2 - 30x + 75 = 0$

$x^2 - 10x + 25 = 0$

$(x-5)^2 = 0 \implies x=5$.

Проверим корень. $5 \ge 7/3$. Корень удовлетворяет ОДЗ. Проверка подстановкой:

ЛЧ: $\sqrt{3(5)+1}+\sqrt{5(5)-9} = \sqrt{16}+\sqrt{16} = 4+4=8$.

ПЧ: $\sqrt{6(5)-14}+\sqrt{2(5)+6} = \sqrt{16}+\sqrt{16} = 4+4=8$.

Равенство верно.

Ответ: $x=5$.

6) $\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x}=2\sqrt{4-x}$

Найдем ОДЗ: $\begin{cases} 9-2x \ge 0 \\ 1-x \ge 0 \\ 4-x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \le 4.5 \\ x \le 1 \\ x \le 4 \end{cases} \implies x \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{9-2x}+\sqrt{1-x})^2 = (2\sqrt{4-x})^2$

$(9-2x) + 2\sqrt{(9-2x)(1-x)} + (1-x) = 4(4-x)$

$10-3x + 2\sqrt{2x^2-11x+9} = 16-4x$

Выразим корень:

$2\sqrt{2x^2-11x+9} = 16-4x-(10-3x)$

$2\sqrt{2x^2-11x+9} = 6-x$

Для $x \le 1$ правая часть $6-x \ge 5 > 0$, так что можно возводить в квадрат. Возведем в квадрат еще раз:

$4(2x^2-11x+9) = (6-x)^2$

$8x^2-44x+36 = 36-12x+x^2$

$7x^2-32x = 0$

$x(7x-32) = 0$

Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=32/7$.

Проверяем по ОДЗ ($x \le 1$).

$x_1=0$ подходит. $x_2=32/7 \approx 4.57$ не подходит.

Проверим корень $x=0$ подстановкой: $\sqrt{9-0}+\sqrt{1-0} = 3+1 = 4$ и $2\sqrt{4-0} = 2\sqrt{4} = 4$. Верно.

Ответ: $x=0$.