Номер 86, страница 121 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt[3]{8 \cdot 125};$

2) $\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81};$

3) $\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001};$

4) $\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9};$

5) $\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}};$

6) $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{2^{18} \cdot 3^{18}}};$

1) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{8 \cdot 125}$ воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{8 \cdot 125} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125}$.
Так как $8 = 2^3$ и $125 = 5^3$, то:
$\sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

2) Для выражения $\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81}$ применим то же свойство корня из произведения:
$\sqrt[4]{0,0016 \cdot 81} = \sqrt[4]{0,0016} \cdot \sqrt[4]{81}$.
Представим подкоренные выражения в виде четвёртой степени: $0,0016 = (0,2)^4$ и $81 = 3^4$.
$\sqrt[4]{(0,2)^4} \cdot \sqrt[4]{3^4} = 0,2 \cdot 3 = 0,6$.
Ответ: 0,6

3) Найдём значение выражения $\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001}$.
$\sqrt[5]{32 \cdot 0,00001} = \sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{0,00001}$.
Представим подкоренные выражения в виде пятой степени: $32 = 2^5$ и $0,00001 = (0,1)^5$.
$\sqrt[5]{2^5} \cdot \sqrt[5]{(0,1)^5} = 2 \cdot 0,1 = 0,2$.
Ответ: 0,2

4) Для нахождения значения выражения $\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9}$ воспользуемся свойствами корня: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.
$\sqrt[3]{7^6 \cdot 2^9} = \sqrt[3]{7^6} \cdot \sqrt[3]{2^9}$.
$7^{\frac{6}{3}} \cdot 2^{\frac{9}{3}} = 7^2 \cdot 2^3 = 49 \cdot 8 = 392$.
Ответ: 392

5) Найдём значение выражения $\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}}$.
$\sqrt[8]{0,5^8 \cdot 3^{16}} = \sqrt[8]{0,5^8} \cdot \sqrt[8]{3^{16}}$.
$0,5^{\frac{8}{8}} \cdot 3^{\frac{16}{8}} = 0,5^1 \cdot 3^2 = 0,5 \cdot 9 = 4,5$.
Ответ: 4,5

6) Найдём значение выражения $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{2^{18} \cdot 3^{18}}}$.
Сначала упростим выражение в знаменателе подкоренной дроби, используя свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ :
$2^{18} \cdot 3^{18} = (2 \cdot 3)^{18} = 6^{18}$.
Теперь выражение выглядит так: $\sqrt[6]{\frac{6^{12} \cdot 5^6}{6^{18}}}$.
Упростим дробь под корнем, используя свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{6^{12}}{6^{18}} = 6^{12-18} = 6^{-6}$.
Получаем: $\sqrt[6]{6^{-6} \cdot 5^6}$.
Извлечём корень: $\sqrt[6]{6^{-6}} \cdot \sqrt[6]{5^6} = 6^{-1} \cdot 5^1 = \frac{1}{6} \cdot 5 = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$