Страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

Поскольку по условию $180^\circ < \alpha < 270^\circ$, угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса отрицательны.

Для дальнейших вычислений нам понадобится значение $\sin\alpha$. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен, следовательно, $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$.

1) sin2α;

Для нахождения $\sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\frac{120}{169}$.

2) cos2α;

Для нахождения $\cos(2\alpha)$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла, например, $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{25}{169} - 1 = \frac{50}{169} - \frac{169}{169} = \frac{50 - 169}{169} = -\frac{119}{169}$.

Ответ: $-\frac{119}{169}$.

3) tg4α.

Чтобы найти $\tg(4\alpha)$, сначала найдем $\tg(2\alpha)$.

$\tg(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Используя результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\tg(2\alpha) = \frac{\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}$.

Теперь применим формулу тангенса двойного угла для $\tg(4\alpha) = \tg(2 \cdot 2\alpha)$:

$\tg(4\alpha) = \frac{2\tg(2\alpha)}{1 - \tg^2(2\alpha)}$.

Подставим найденное значение $\tg(2\alpha)$:

$\tg(4\alpha) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{120}{119}\right)}{1 - \left(-\frac{120}{119}\right)^2} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{119^2}} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{14161 - 14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{-239}{14161}}$.

$\tg(4\alpha) = \frac{240}{119} \cdot \frac{14161}{239} = \frac{240}{119} \cdot \frac{119^2}{239} = \frac{240 \cdot 119}{239} = \frac{28560}{239}$.

Ответ: $\frac{28560}{239}$.

210. Дано: $ \text{tg } \alpha = -2 $, $ 270^\circ < \alpha < 360^\circ $. Найдите:

1) $ \text{sin } 2\alpha $;

2) $ \text{cos } 2\alpha $;

3) $ \text{tg } 2\alpha $.

По условию $270° < \alpha < 360°$, следовательно, угол $\alpha$ находится в IV координатной четверти. В этой четверти $\sin\alpha < 0$, а $\cos\alpha > 0$. Значение $\text{tg}\alpha = -2$ соответствует этой четверти.

Для нахождения искомых величин можно использовать формулы двойного угла, которые выражаются через тангенс. Однако, для полноты решения, сначала найдем значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$.

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством, связывающим тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.

Подставим данное значение $\text{tg}\alpha = -2$:

$1 + (-2)^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$1 + 4 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$

$5 = \frac{1}{\cos^2\alpha} \Rightarrow \cos^2\alpha = \frac{1}{5}$

Так как $\alpha$ находится в IV четверти, $\cos\alpha > 0$, поэтому $\cos\alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Теперь найдем $\sin\alpha$, используя определение тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$:

$\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Теперь, имея значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$, мы можем вычислить требуемые величины.

1) sin2α;

Используем формулу синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right) = -\frac{4}{5}$.

Альтернативный способ: можно было сразу использовать формулу $\sin(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha} = \frac{2 \cdot (-2)}{1 + (-2)^2} = \frac{-4}{1+4} = -\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{4}{5}$.

2) cos2α;

Используем формулу косинуса двойного угла, выраженную через тангенс: $\cos(2\alpha) = \frac{1 - \text{tg}^2\alpha}{1 + \text{tg}^2\alpha}$.

$\cos(2\alpha) = \frac{1 - (-2)^2}{1 + (-2)^2} = \frac{1 - 4}{1 + 4} = -\frac{3}{5}$.

Альтернативный способ: можно было использовать формулу $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 - \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5}$.

3) tg2α.

Используем формулу тангенса двойного угла: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{2\text{tg}\alpha}{1 - \text{tg}^2\alpha}$.

$\text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \cdot (-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

Альтернативный способ: можно было найти тангенс как отношение синуса к косинусу: $\text{tg}(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

211. Упростите выражение $\sqrt{2+2\cos 8\alpha}$, если $\frac{\pi}{8} < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Для упрощения выражения $\sqrt{2 + 2\cos(8\alpha)}$ воспользуемся тригонометрическими тождествами.

1. Вынесем общий множитель 2 из-под корня:

$\sqrt{2(1 + \cos(8\alpha))}$

2. Применим формулу косинуса двойного угла, а именно следствие из нее: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$. В нашем случае аргумент $2x = 8\alpha$, значит $x = 4\alpha$.

Подставим это в наше выражение:

$\sqrt{2 \cdot (2\cos^2(4\alpha))} = \sqrt{4\cos^2(4\alpha)}$

3. Извлечем квадратный корень. Важно помнить, что $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{4\cos^2(4\alpha)} = 2|\cos(4\alpha)|$

4. Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $\cos(4\alpha)$. Для этого воспользуемся условием, данным в задаче: $\frac{\pi}{8} < \alpha < \frac{\pi}{4}$.

Умножим все части этого неравенства на 4, чтобы определить диапазон для угла $4\alpha$:

$4 \cdot \frac{\pi}{8} < 4\alpha < 4 \cdot \frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2} < 4\alpha < \pi$

Угол $4\alpha$ находится во второй координатной четверти. В этой четверти косинус принимает отрицательные значения, то есть $\cos(4\alpha) < 0$.

5. Раскроем модуль. Так как подмодульное выражение отрицательно, то $|\cos(4\alpha)| = -\cos(4\alpha)$.

Окончательно получаем:

$2|\cos(4\alpha)| = 2(-\cos(4\alpha)) = -2\cos(4\alpha)$

Ответ: $-2\cos(4\alpha)$

212. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 9\alpha}{\sin 3\alpha} + \frac{\cos 9\alpha}{\cos 3\alpha}$;

2) $\frac{\sin^2 2\alpha + 4\sin^4 \alpha}{4 - \sin^2 2\alpha - 4\sin^2 \alpha}$;

3) $\frac{\operatorname{tg}\left(\frac{5\pi}{4} - 4\alpha\right)\sin^2\left(\frac{5\pi}{4} + 4\alpha\right)}{1 - 2\cos^2 4\alpha}$;

4) $\frac{\sin 8\alpha}{1 + \cos 8\alpha} \cdot \frac{\cos 4\alpha}{1 + \cos 4\alpha} \cdot \frac{\sin 4\alpha}{1 - \cos 4\alpha}$.

1) Приведем дроби $ \frac{\sin{9\alpha}}{\sin{3\alpha}} + \frac{\cos{9\alpha}}{\cos{3\alpha}} $ к общему знаменателю $ \sin{3\alpha}\cos{3\alpha} $:
$ \frac{\sin{9\alpha}\cos{3\alpha} + \cos{9\alpha}\sin{3\alpha}}{\sin{3\alpha}\cos{3\alpha}} $
В числителе используем формулу синуса суммы $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $, где $ A=9\alpha $ и $ B=3\alpha $:
$ \sin{9\alpha}\cos{3\alpha} + \cos{9\alpha}\sin{3\alpha} = \sin(9\alpha+3\alpha) = \sin(12\alpha) $
В знаменателе используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2A) = 2\sin A \cos A $, из которой следует, что $ \sin A \cos A = \frac{1}{2}\sin(2A) $:
$ \sin{3\alpha}\cos{3\alpha} = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot 3\alpha) = \frac{1}{2}\sin(6\alpha) $
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходное выражение:
$ \frac{\sin(12\alpha)}{\frac{1}{2}\sin(6\alpha)} = 2 \frac{\sin(12\alpha)}{\sin(6\alpha)} $
Снова применим формулу синуса двойного угла для $ \sin(12\alpha) = \sin(2 \cdot 6\alpha) = 2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha) $:
$ 2 \frac{2\sin(6\alpha)\cos(6\alpha)}{\sin(6\alpha)} = 4\cos(6\alpha) $
Ответ: $ 4\cos(6\alpha) $

2) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin^2{2\alpha} + 4\sin^4{\alpha}}{4 - \sin^2{2\alpha} - 4\sin^2{\alpha}} $.
Преобразуем числитель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin^2{2\alpha} + 4\sin^4{\alpha} = (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 + 4\sin^4\alpha = 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha + 4\sin^4\alpha $
Вынесем общий множитель $ 4\sin^2\alpha $ за скобки:
$ 4\sin^2\alpha(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) $
Используя основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 $, получаем, что числитель равен:
$ 4\sin^2\alpha \cdot 1 = 4\sin^2\alpha $
Теперь преобразуем знаменатель:
$ 4 - \sin^2{2\alpha} - 4\sin^2{\alpha} = 4 - (2\sin\alpha\cos\alpha)^2 - 4\sin^2\alpha = 4 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha $
Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:
$ (4 - 4\sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4(1 - \sin^2\alpha) - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha $
Используя тождество $ 1 - \sin^2\alpha = \cos^2\alpha $, получаем:
$ 4\cos^2\alpha - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 4\cos^2\alpha(1 - \sin^2\alpha) = 4\cos^2\alpha \cdot \cos^2\alpha = 4\cos^4\alpha $
Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{4\sin^2\alpha}{4\cos^4\alpha} = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha} $
Ответ: $ \frac{\sin^2\alpha}{\cos^4\alpha} $

3) Рассмотрим выражение $ \frac{\text{tg}(\frac{5\pi}{4}-4\alpha)\sin^2(\frac{5\pi}{4}+4\alpha)}{1-2\cos^2(4\alpha)} $.
Упростим тригонометрические функции в числителе, используя формулы приведения.
$ \text{tg}(\frac{5\pi}{4}-4\alpha) = \text{tg}(\pi + \frac{\pi}{4}-4\alpha) = \text{tg}(\frac{\pi}{4}-4\alpha) $, так как период тангенса равен $ \pi $.
$ \sin^2(\frac{5\pi}{4}+4\alpha) = \sin^2(\pi + \frac{\pi}{4}+4\alpha) = (-\sin(\frac{\pi}{4}+4\alpha))^2 = \sin^2(\frac{\pi}{4}+4\alpha) $.
Упростим знаменатель, используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 $:
$ 1-2\cos^2(4\alpha) = -(2\cos^2(4\alpha) - 1) = -\cos(2 \cdot 4\alpha) = -\cos(8\alpha) $.
Теперь выражение имеет вид:
$ \frac{\text{tg}(\frac{\pi}{4}-4\alpha)\sin^2(\frac{\pi}{4}+4\alpha)}{-\cos(8\alpha)} $
Преобразуем числитель. Пусть $ x = 4\alpha $.
$ \text{tg}(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{\text{tg}\frac{\pi}{4} - \text{tg}x}{1+\text{tg}\frac{\pi}{4}\text{tg}x} = \frac{1-\text{tg}x}{1+\text{tg}x} = \frac{1-\frac{\sin x}{\cos x}}{1+\frac{\sin x}{\cos x}} = \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $
$ \sin^2(\frac{\pi}{4}+x) = (\sin\frac{\pi}{4}\cos x + \cos\frac{\pi}{4}\sin x)^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x + \sin x))^2 = \frac{1}{2}(\cos x + \sin x)^2 $
Перемножим части числителя:
$ \frac{\cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} \cdot \frac{1}{2}(\cos x + \sin x)^2 = \frac{1}{2}(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x) = \frac{1}{2}(\cos^2x - \sin^2x) $
Используя формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x $, получаем:
$ \frac{1}{2}\cos(2x) = \frac{1}{2}\cos(8\alpha) $
Подставим упрощенный числитель и знаменатель в выражение:
$ \frac{\frac{1}{2}\cos(8\alpha)}{-\cos(8\alpha)} = -\frac{1}{2} $
Ответ: $ -1/2 $

4) Рассмотрим выражение $ \frac{\sin{8\alpha}}{1+\cos{8\alpha}} \cdot \frac{\cos{4\alpha}}{1+\cos{4\alpha}} \cdot \frac{\sin{4\alpha}}{1-\cos{4\alpha}} $.
Будем использовать формулы двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin x \cos x $ и $ \cos(2x) = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x $.
Упростим первый множитель:
$ \frac{\sin{8\alpha}}{1+\cos{8\alpha}} = \frac{2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{1+(2\cos^2{4\alpha}-1)} = \frac{2\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{2\cos^2{4\alpha}} = \frac{\sin{4\alpha}}{\cos{4\alpha}} = \text{tg}(4\alpha) $
Теперь сгруппируем и упростим второй и третий множители:
$ \frac{\cos{4\alpha}}{1+\cos{4\alpha}} \cdot \frac{\sin{4\alpha}}{1-\cos{4\alpha}} = \frac{\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{(1+\cos{4\alpha})(1-\cos{4\alpha})} $
В знаменателе используем формулу разности квадратов, а затем основное тригонометрическое тождество:
$ (1+\cos{4\alpha})(1-\cos{4\alpha}) = 1 - \cos^2{4\alpha} = \sin^2{4\alpha} $
Тогда произведение второго и третьего множителей равно:
$ \frac{\sin{4\alpha}\cos{4\alpha}}{\sin^2{4\alpha}} = \frac{\cos{4\alpha}}{\sin{4\alpha}} = \text{ctg}(4\alpha) $
Наконец, перемножим полученные упрощенные выражения:
$ \text{tg}(4\alpha) \cdot \text{ctg}(4\alpha) = 1 $
Ответ: $ 1 $

213. Упростите выражение $\sqrt{(\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha)\cos 2\alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha}$, если $-\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Для упрощения выражения $ \sqrt{(\cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha)\cos(2\alpha)} \cdot \tan(2\alpha) $ при условии $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $ выполним следующие шаги.

Сначала преобразуем разность квадратов котангенса и тангенса в подкоренном выражении:
$ \cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $.

Разложим числитель по формуле разности квадратов и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:
$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos(2\alpha) \cdot 1 = \cos(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} $.

Таким образом, разность квадратов равна:
$ \cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{\sin^2(2\alpha)}{4}} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $.

Теперь подставим это в полное подкоренное выражение:
$ (\cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha)\cos(2\alpha) = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \cdot \cos(2\alpha) = \frac{4\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} = 4\cot^2(2\alpha) $.

Исходное выражение принимает вид:
$ \sqrt{4\cot^2(2\alpha)} \cdot \tan(2\alpha) = |2\cot(2\alpha)| \cdot \tan(2\alpha) $.

Определим знак $ \cot(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Умножив неравенство на 2, получим интервал для $ 2\alpha $:
$ 2 \cdot \frac{\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{\pi}{2} $
$ \frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi $.
Этот интервал соответствует второй четверти, где котангенс отрицателен ($ \cot(2\alpha) < 0 $).

Следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $ |2\cot(2\alpha)| = -2\cot(2\alpha) $.

Подставляем и вычисляем окончательный результат, используя тождество $ \cot(x) \tan(x) = 1 $:
$ -2\cot(2\alpha) \cdot \tan(2\alpha) = -2 \cdot 1 = -2 $.

Ответ: $-2$

214. Докажите, что $\cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha = \frac{\sin 16\alpha}{8\sin 2\alpha}$.

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть. Основной тригонометрической формулой, которую мы будем использовать, является формула синуса двойного угла: $ \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) $.

Рассмотрим левую часть равенства: $ \cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha) $.

Чтобы можно было применить формулу синуса двойного угла, умножим и разделим это выражение на $ 2\sin(2\alpha) $. Это преобразование является корректным при условии, что $ \sin(2\alpha) \neq 0 $, то есть $ 2\alpha \neq \pi k $, где $ k $ — любое целое число. Отметим, что при этих значениях $ \alpha $ правая часть исходного тождества не определена, поэтому мы рассматриваем тождество в области его определения.

$ \cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha) = \frac{2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2\sin(2\alpha)} $

В числителе дроби произведение $ 2\sin(2\alpha)\cos(2\alpha) $ по формуле синуса двойного угла равно $ \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin(4\alpha) $. Подставим это в наше выражение:

$ \frac{\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2\sin(2\alpha)} $

Теперь в числителе мы видим похожую структуру $ \sin(4\alpha)\cos(4\alpha) $. Снова применим тот же приём: умножим числитель и знаменатель на 2.

$ \frac{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{2 \cdot 2\sin(2\alpha)} = \frac{2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha)\cos(8\alpha)}{4\sin(2\alpha)} $

Выражение $ 2\sin(4\alpha)\cos(4\alpha) $ в числителе равно $ \sin(2 \cdot 4\alpha) = \sin(8\alpha) $. Заменим его:

$ \frac{\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{4\sin(2\alpha)} $

Повторим операцию в последний раз: умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы применить формулу к выражению $ \sin(8\alpha)\cos(8\alpha) $.

$ \frac{2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{2 \cdot 4\sin(2\alpha)} = \frac{2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha)}{8\sin(2\alpha)} $

Используя формулу синуса двойного угла для $ 2\sin(8\alpha)\cos(8\alpha) $, получаем $ \sin(2 \cdot 8\alpha) = \sin(16\alpha) $.

В итоге, выражение преобразуется к виду:

$ \frac{\sin(16\alpha)}{8\sin(2\alpha)} $

Мы преобразовали левую часть тождества и получили в точности его правую часть. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

215. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 100^{\circ} - \sin 40^{\circ}$;

2) $\cos 3\alpha + \cos 11\alpha$;

3) $\sin \frac{5\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8}$;

4) $\cos 2\alpha - \cos 8\alpha$;

5) $\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right) + \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right)$;

6) $\cos \left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)$.

1) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула: $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим в формулу значения $x = 100^\circ$ и $y = 40^\circ$:
$\sin 100^\circ - \sin 40^\circ = 2 \cos\left(\frac{100^\circ+40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{100^\circ-40^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{140^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \cos(70^\circ) \sin(30^\circ)$.
Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то получаем:
$2 \cos(70^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \cos(70^\circ)$.

Ответ: $\cos(70^\circ)$.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Для удобства поменяем слагаемые местами: $\cos11\alpha + \cos3\alpha$. Подставим в формулу $x = 11\alpha$ и $y = 3\alpha$:
$\cos11\alpha + \cos3\alpha = 2 \cos\left(\frac{11\alpha+3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{11\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{14\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = 2 \cos(7\alpha) \cos(4\alpha)$.

Ответ: $2 \cos(7\alpha) \cos(4\alpha)$.

3) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = \frac{5\pi}{8}$ и $y = \frac{3\pi}{8}$:
$\sin\frac{5\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8} = 2 \sin\left(\frac{\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{8\pi}{8}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{8}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
Так как значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то получаем:
$2 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{8}) = 2\cos(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $2\cos(\frac{\pi}{8})$.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = 2\alpha$ и $y = 8\alpha$:
$\cos2\alpha - \cos8\alpha = -2 \sin\left(\frac{2\alpha+8\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha-8\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin(5\alpha) \sin(-3\alpha)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:
$-2 \sin(5\alpha) (-\sin(3\alpha)) = 2 \sin(5\alpha) \sin(3\alpha)$.

Ответ: $2 \sin(5\alpha) \sin(3\alpha)$.

5) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = \alpha + \frac{\pi}{5}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{5}$:
$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right) = 2 \sin\left(\frac{(\alpha + \frac{\pi}{5}) + (\alpha - \frac{\pi}{5})}{2}\right) \cos\left(\frac{(\alpha + \frac{\pi}{5}) - (\alpha - \frac{\pi}{5})}{2}\right)$.
Упростим аргументы функций:
$\frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$
$\frac{x-y}{2} = \frac{2\pi/5}{2} = \frac{\pi}{5}$
Таким образом, получаем произведение:
$2 \sin(\alpha) \cos(\frac{\pi}{5})$.

Ответ: $2 \sin(\alpha) \cos(\frac{\pi}{5})$.

6) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = 3\alpha - \frac{3\pi}{4}$ и $y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$:
$\cos\left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2}\right) \sin\left(\frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2}\right)$.
Упростим аргументы функций:
$\frac{x+y}{2} = \frac{6\alpha - 2\pi/4}{2} = \frac{6\alpha - \pi/2}{2} = 3\alpha - \frac{\pi}{4}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{-4\pi/4}{2} = \frac{-\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$
Подставим упрощенные аргументы в выражение:
$-2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как значение $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, то получаем:
$-2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot (-1) = 2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

216. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 35^\circ - \cos 75^\circ;$

2) $\sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{12};$

3) $\cos 2\alpha + \sin \alpha.$

1) $sin35° - cos75°$

Для преобразования разности в произведение, необходимо привести тригонометрические функции к одному наименованию. Воспользуемся формулой приведения $cos(x) = sin(90° - x)$.

Применим ее к $cos(75°)$:

$cos(75°) = sin(90° - 75°) = sin(15°)$

Теперь исходное выражение выглядит как разность синусов:

$sin(35°) - sin(15°)$

Далее применим формулу разности синусов: $sin(\alpha) - sin(\beta) = 2 \cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot sin(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

В нашем случае $\alpha = 35°$ и $\beta = 15°$.

$sin(35°) - sin(15°) = 2 \cdot cos(\frac{35°+15°}{2}) \cdot sin(\frac{35°-15°}{2}) = 2 \cdot cos(\frac{50°}{2}) \cdot sin(\frac{20°}{2}) = 2 \cdot cos(25°) \cdot sin(10°)$.

Ответ: $2cos(25°)sin(10°)$.

2) $sin\frac{\pi}{8} + cos\frac{\pi}{12}$

Сначала приведем слагаемые к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения для косинуса $cos(x) = sin(\frac{\pi}{2} - x)$.

$cos(\frac{\pi}{12}) = sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = sin(\frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12}) = sin(\frac{5\pi}{12})$

Теперь выражение принимает вид суммы синусов:

$sin(\frac{\pi}{8}) + sin(\frac{5\pi}{12})$

Применим формулу суммы синусов: $sin(\alpha) + sin(\beta) = 2 \cdot sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

Здесь $\alpha = \frac{\pi}{8}$ и $\beta = \frac{5\pi}{12}$. Найдем полусумму и полуразность аргументов, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{24} + \frac{10\pi}{24}}{2} = \frac{\frac{13\pi}{24}}{2} = \frac{13\pi}{48}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{\frac{3\pi}{24} - \frac{10\pi}{24}}{2} = \frac{-\frac{7\pi}{24}}{2} = -\frac{7\pi}{48}$

Подставляем полученные значения в формулу:

$2 \cdot sin(\frac{13\pi}{48}) \cdot cos(-\frac{7\pi}{48})$

Так как косинус является четной функцией, то $cos(-x) = cos(x)$. Окончательно получаем:

$2 \cdot sin(\frac{13\pi}{48}) \cdot cos(\frac{7\pi}{48})$

Ответ: $2sin(\frac{13\pi}{48})cos(\frac{7\pi}{48})$.

3) $cos2\alpha + sin\alpha$

Чтобы использовать формулы преобразования суммы в произведение, приведем функции к одному наименованию. Используем формулу приведения $sin(\alpha) = cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.

Тогда выражение можно записать в виде суммы косинусов:

$cos(2\alpha) + cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$

Применим формулу суммы косинусов: $cos(\alpha) + cos(\beta) = 2 \cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) \cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})$.

В данном случае $\alpha$ из формулы равно $2\alpha$, а $\beta$ из формулы равно $\frac{\pi}{2} - \alpha$.

$\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = \frac{\alpha + \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{4}$

$\frac{\alpha-\beta}{2} = \frac{2\alpha - (\frac{\pi}{2} - \alpha)}{2} = \frac{3\alpha - \frac{\pi}{2}}{2} = \frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4}$

Подставляя эти значения в формулу, получаем произведение:

$2 \cdot cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2}) \cdot cos(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$

Ответ: $2cos(\frac{\pi}{4} + \frac{\alpha}{2})cos(\frac{3\alpha}{2} - \frac{\pi}{4})$.