Страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

223. Решите уравнение:

1) $\cos 4x = -1;$

2) $\cos \frac{3x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2};$

3) $\cos \frac{8x}{5} = 0;$

4) $\cos \left(10x - \frac{\pi}{6}\right) = 1;$

5) $\cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2};$

6) $\cos \frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

7) $\cos \left(4x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{2};$

8) $\cos(3x - 5) = \frac{\pi}{6};$

9) $2\cos \left(5x + \frac{\pi}{8}\right) - \sqrt{3} = 0;$

10) $6\cos \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 = 0.$

1) $cos(4x) = -1$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Решение уравнения $cos(t) = -1$ имеет вид $t = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 4x$.

$4x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

2) $cos\frac{3x}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение уравнения $cos(t) = a$ имеет вид $t = \pm arccos(a) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В данном случае $t = \frac{3x}{2}$ и $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Значение $arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.

$\frac{3x}{2} = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 2:

$3x = \pm \frac{2\pi}{4} + 4\pi k$

$3x = \pm \frac{\pi}{2} + 4\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{4\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

3) $cos\frac{8x}{5} = 0$

Это частный случай. Решение уравнения $cos(t) = 0$ имеет вид $t = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = \frac{8x}{5}$.

$\frac{8x}{5} = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Умножим обе части на 5:

$8x = \frac{5\pi}{2} + 5\pi k$

Разделим обе части на 8:

$x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi k}{8}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5\pi}{16} + \frac{5\pi k}{8}$, $k \in \mathbb{Z}$.

4) $cos(10x - \frac{\pi}{6}) = 1$

Это частный случай. Решение уравнения $cos(t) = 1$ имеет вид $t = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

В нашем случае $t = 10x - \frac{\pi}{6}$.

$10x - \frac{\pi}{6} = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Перенесем $\frac{\pi}{6}$ в правую часть:

$10x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Разделим обе части на 10:

$x = \frac{\pi}{60} + \frac{2\pi k}{10}$

$x = \frac{\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{60} + \frac{\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

5) $cos(4 - 3x) = -\frac{1}{2}$

Используем свойство четности косинуса $cos(-\alpha) = cos(\alpha)$, поэтому $cos(4 - 3x) = cos(3x - 4)$.

$cos(3x - 4) = -\frac{1}{2}$

Общее решение: $3x - 4 = \pm arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Значение $arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

$3x - 4 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Перенесем 4 в правую часть:

$3x = 4 \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{4}{3} \pm \frac{2\pi}{9} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

6) $cos\frac{5\pi x}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение: $\frac{5\pi x}{6} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Значение $arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$\frac{5\pi x}{6} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Умножим обе части на $\frac{6}{\pi}$:

$5x = (\pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k) \cdot \frac{6}{\pi}$

$5x = \pm 1 + 12k$

Разделим обе части на 5:

$x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm \frac{1}{5} + \frac{12k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

7) $cos(4x - \frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{2}$

Область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$.

Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{2} \approx \frac{3.14}{2} = 1.57$.

Поскольку $1.57 > 1$, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

8) $cos(3x - 5) = \frac{\pi}{6}$

Область значений функции косинус находится в промежутке $[-1, 1]$.

Так как $\pi \approx 3.14$, то $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3.14}{6} \approx 0.52$.

Поскольку $-1 \le \frac{\pi}{6} \le 1$, уравнение имеет решения.

Общее решение: $3x - 5 = \pm arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем 5 в правую часть:

$3x = 5 \pm arccos(\frac{\pi}{6}) + 2\pi k$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{5 \pm arccos(\frac{\pi}{6})}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{5 \pm arccos(\frac{\pi}{6})}{3} + \frac{2\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

9) $2cos(5x + \frac{\pi}{8}) - \sqrt{3} = 0$

Сначала преобразуем уравнение, чтобы выразить косинус:

$2cos(5x + \frac{\pi}{8}) = \sqrt{3}$

$cos(5x + \frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Общее решение: $5x + \frac{\pi}{8} = \pm arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$.

$5x + \frac{\pi}{8} = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

$5x = -\frac{\pi}{8} \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k$

Рассмотрим два случая:

1) $5x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi + 4\pi}{24} + 2\pi k = \frac{\pi}{24} + 2\pi k$

$x = \frac{\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$

2) $5x = -\frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{-3\pi - 4\pi}{24} + 2\pi k = -\frac{7\pi}{24} + 2\pi k$

$x = -\frac{7\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$, $x = -\frac{7\pi}{120} + \frac{2\pi k}{5}$, $k \in \mathbb{Z}$.

10) $6cos(4x - \frac{\pi}{4}) - 1 = 0$

Преобразуем уравнение:

$6cos(4x - \frac{\pi}{4}) = 1$

$cos(4x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{6}$

Общее решение: $4x - \frac{\pi}{4} = \pm arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:

$4x = \frac{\pi}{4} \pm arccos(\frac{1}{6}) + 2\pi k$

Разделим обе части на 4:

$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{2\pi k}{4}$

$x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{16} \pm \frac{1}{4}arccos(\frac{1}{6}) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

224. Решите уравнение:

1) $ \sin^2 5x = \frac{1}{2}; $

2) $ \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{4}; $

3) $ 6\cos^2 x - 1 = 0. $

1) $\sin^2 5x = \frac{1}{2}$
Для решения уравнений такого вида удобно использовать формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу к нашему уравнению:
$\frac{1 - \cos(2 \cdot 5x)}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{1 - \cos(10x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 - \cos(10x) = 1$
$-\cos(10x) = 0$
$\cos(10x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого имеет вид:
$10x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 10:
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{3})}{2} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 + \cos(\frac{2x}{3})}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(\frac{2x}{3}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Выразим $\cos(\frac{2x}{3})$:
$\cos(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{2} - 1$
$\cos(\frac{2x}{3}) = -\frac{1}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$\frac{2x}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как значение $\arccos(-\frac{1}{2})$ равно $\frac{2\pi}{3}$, получаем:
$\frac{2x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:
$x = (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) \cdot \frac{3}{2}$
$x = \pm \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $6\cos^2 x - 1 = 0$
Сначала выразим $\cos^2 x$ из уравнения:
$6\cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = \frac{1}{6}$
Снова применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{6}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(2x) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Выразим $\cos(2x)$:
$\cos(2x) = \frac{1}{3} - 1$
$\cos(2x) = -\frac{2}{3}$
Запишем общее решение:
$2x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

225. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Дано тригонометрическое уравнение:
$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для решения этого уравнения, сначала найдем общее решение для аргумента косинуса. Пусть $t = x+\frac{\pi}{3}$. Тогда уравнение принимает вид $\cos(t) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Общее решение для такого уравнения записывается как:
$t = \pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Значение арккосинуса: $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$.
Подставляем это значение в общее решение для $t$:
$t = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $x+\frac{\pi}{3}$ вместо $t$. Это дает нам две серии решений:
1) $x+\frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$
2) $x+\frac{\pi}{3} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Выразим $x$ из каждой серии:
1) $x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$
2) $x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{-9\pi - 4\pi}{12} + 2\pi n = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$

Теперь нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Для этого рассмотрим обе серии решений и подставим различные целые значения $n$, чтобы найти отрицательные корни $x<0$.

Для первой серии $x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi n$:
- При $n=0$: $x = \frac{5\pi}{12}$. Это положительный корень.
- При $n=-1$: $x = \frac{5\pi}{12} - 2\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{12} = -\frac{19\pi}{12}$. Это отрицательный корень.
- При $n \le -2$ корни будут еще меньше (более отрицательными), чем $-\frac{19\pi}{12}$.

Для второй серии $x = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi n$:
- При $n=0$: $x = -\frac{13\pi}{12}$. Это отрицательный корень.
- При $n=1$: $x = -\frac{13\pi}{12} + 2\pi = \frac{-13\pi + 24\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$. Это положительный корень.
- При $n \le -1$ корни будут еще меньше (более отрицательными), чем $-\frac{13\pi}{12}$.

Мы получили кандидатов на наибольший отрицательный корень: $-\frac{19\pi}{12}$ и $-\frac{13\pi}{12}$.
Чтобы найти наибольший из них, сравним эти два числа. На числовой прямой число, расположенное правее, является большим.
Так как $-13 > -19$, то $-\frac{13\pi}{12} > -\frac{19\pi}{12}$.
Следовательно, наибольший отрицательный корень уравнения — это $-\frac{13\pi}{12}$.

Ответ: $-\frac{13\pi}{12}$

226. Сколько корней уравнения $\cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения:

$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений, так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию отдельно.

1. Первая серия решений:

$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

2. Вторая серия решений:

$3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = 2\pi n$
$x = \frac{2\pi n}{3}$

Теперь необходимо определить, сколько корней из этих двух серий попадает в заданный промежуток $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Отбор корней для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Решим неравенство: $0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le \frac{3\pi}{4}$.
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \le \frac{3}{4}$
Вычтем $\frac{1}{6}$:
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{3}{4} - \frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{9-2}{12}$
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{7}{12}$
Умножим на $\frac{3}{2}$:
$-\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} \le n \le \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{7}{8}$
Единственное целое значение $n$ в этом интервале — это $n=0$.
При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

Отбор корней для второй серии $x = \frac{2\pi n}{3}$

Решим неравенство: $0 \le \frac{2\pi n}{3} \le \frac{3\pi}{4}$.
Разделим все части на $\pi$ и умножим на $\frac{3}{2}$:
$0 \cdot \frac{3}{2} \le n \le \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$
$0 \le n \le \frac{9}{8}$
Целые значения $n$ в этом интервале — это $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку.
При $n=1$ получаем корень $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень также принадлежит промежутку, так как $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, а $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, то есть $\frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{4}$.

В итоге, на промежутке $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$ находятся три корня: $\frac{\pi}{6}$, $0$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, уравнение имеет 3 корня на заданном промежутке.

Ответ: 3

227. Найдите все корни уравнения $\cos \left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Аргумент косинуса $2x + \frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, косинус которых равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти углы равны $\pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, то есть $\pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Рассмотрим два случая для двух серий решений.

Первая серия решений:

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

Выразим $x$:

$$ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$$ 2x = \frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi n $$

$$ 2x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n $$

Разделим обе части на 2:

$$ x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия решений:

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

Выразим $x$:

$$ 2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$$ 2x = -\frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi n $$

$$ 2x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n $$

Разделим обе части на 2:

$$ x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Теперь необходимо найти те корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Для удобства сравнения приведем дроби в неравенстве к общему знаменателю 24:

$$ -\frac{3\pi}{8} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{8 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{24} $$

$$ \frac{5\pi}{8} = \frac{5 \cdot 3 \pi}{8 \cdot 3} = \frac{15\pi}{24} $$

Таким образом, искомые корни должны удовлетворять неравенству:

$$ -\frac{9\pi}{24} < x < \frac{15\pi}{24} $$

Подставим в это неравенство найденные серии корней и найдем подходящие целые значения $n$.

Отбор корней для первой серии $x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$:

$$ -\frac{9\pi}{24} < \frac{7\pi}{24} + \pi n < \frac{15\pi}{24} $$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 24:

$$ -9 < 7 + 24n < 15 $$

Вычтем 7 из всех частей:

$$ -16 < 24n < 8 $$

Разделим все части на 24:

$$ -\frac{16}{24} < n < \frac{8}{24} $$

$$ -\frac{2}{3} < n < \frac{1}{3} $$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n = 0$.

При $n=0$ корень равен: $x = \frac{7\pi}{24} + \pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{24}$.

Отбор корней для второй серии $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$:

$$ -\frac{9\pi}{24} < -\frac{11\pi}{24} + \pi n < \frac{15\pi}{24} $$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 24:

$$ -9 < -11 + 24n < 15 $$

Прибавим 11 ко всем частям:

$$ 2 < 24n < 26 $$

Разделим все части на 24:

$$ \frac{2}{24} < n < \frac{26}{24} $$

$$ \frac{1}{12} < n < 1\frac{2}{24} $$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n = 1$.

При $n=1$ корень равен: $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi \cdot 1 = \frac{-11\pi + 24\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$.

Таким образом, в заданном интервале находятся два корня.

Ответ: $\frac{7\pi}{24}; \frac{13\pi}{24}$.

228. При каких значениях a уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a + 4;$

2) $\cos x = a^2 - 4a + 5;$

3) $(a - 1)\cos x = a - 2?$;

Для того чтобы уравнение, содержащее $ \cos x $, имело решения, необходимо и достаточно, чтобы выражение, которому равен $ \cos x $, принадлежало отрезку $ [-1, 1] $, так как это область значений функции косинус. То есть, должно выполняться неравенство:

$ -1 \le \cos x \le 1 $

1) $ \cos x = a + 4 $

Применяем условие существования решений к правой части уравнения:

$ -1 \le a + 4 \le 1 $

Чтобы найти значения $ a $, вычтем 4 из всех частей двойного неравенства:

$ -1 - 4 \le a \le 1 - 4 $

$ -5 \le a \le -3 $

Таким образом, решения существуют при $ a $, принадлежащем отрезку от -5 до -3.

Ответ: $ a \in [-5, -3] $.

2) $ \cos x = a^2 - 4a + 5 $

Применяем условие существования решений:

$ -1 \le a^2 - 4a + 5 \le 1 $

Рассмотрим правую часть выражения $ a^2 - 4a + 5 $. Выделим в ней полный квадрат:

$ a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a - 2)^2 + 1 $

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $ (a - 2)^2 \ge 0 $. Следовательно, минимальное значение выражения $ (a - 2)^2 + 1 $ равно 1, и достигается оно при $ a = 2 $. Область значений функции $ f(a) = a^2 - 4a + 5 $ есть $ [1, +\infty) $.

Условие $ -1 \le a^2 - 4a + 5 \le 1 $ может выполняться только в том случае, если выражение $ a^2 - 4a + 5 $ равно 1, так как это единственное значение, общее для отрезка $ [-1, 1] $ (область значений косинуса) и луча $ [1, +\infty) $ (область значений правой части).

Приравняем правую часть к 1:

$ a^2 - 4a + 5 = 1 $

$ a^2 - 4a + 4 = 0 $

$ (a - 2)^2 = 0 $

$ a - 2 = 0 $

$ a = 2 $

Ответ: $ a = 2 $.

3) $ (a - 1)\cos x = a - 2 $

Рассмотрим два случая в зависимости от значения коэффициента при $ \cos x $.

Случай 1: Коэффициент $ a - 1 = 0 $, то есть $ a = 1 $.

Подставим $ a = 1 $ в исходное уравнение:

$ (1 - 1)\cos x = 1 - 2 $

$ 0 \cdot \cos x = -1 $

$ 0 = -1 $

Получено неверное равенство, следовательно, при $ a = 1 $ уравнение решений не имеет.

Случай 2: Коэффициент $ a - 1 \neq 0 $, то есть $ a \neq 1 $.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ (a - 1) $:

$ \cos x = \frac{a - 2}{a - 1} $

Для существования решений необходимо, чтобы правая часть принадлежала отрезку $ [-1, 1] $:

$ -1 \le \frac{a - 2}{a - 1} \le 1 $

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $ \frac{a - 2}{a - 1} \ge -1 $ и $ \frac{a - 2}{a - 1} \le 1 $.

Решим первое неравенство:

$ \frac{a - 2}{a - 1} + 1 \ge 0 \implies \frac{a - 2 + a - 1}{a - 1} \ge 0 \implies \frac{2a - 3}{a - 1} \ge 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $ a \in (-\infty, 1) \cup [1,5; +\infty) $.

Решим второе неравенство:

$ \frac{a - 2}{a - 1} - 1 \le 0 \implies \frac{a - 2 - (a - 1)}{a - 1} \le 0 \implies \frac{-1}{a - 1} \le 0 $

Так как числитель дроби отрицателен, неравенство выполняется, когда знаменатель положителен:

$ a - 1 > 0 \implies a > 1 $.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ a \in ((-\infty, 1) \cup [1,5; +\infty)) \cap (1, +\infty) $.

Пересечением является промежуток $ [1,5; +\infty) $.

Ответ: $ a \in [1,5; +\infty) $.

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4} ]$ в зависимости от значения $a$.

Для решения задачи проанализируем поведение функции $ y = \cos x $ на отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4}\right] $. Количество корней уравнения $ \cos x = a $ на данном отрезке будет равно количеству точек пересечения графика функции $ y = \cos x $ и горизонтальной прямой $ y = a $.

Исследуем функцию $ y = \cos x $ на отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4}\right] $:

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   $ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
   $ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
2. На отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; 0\right] $ функция $ \cos x $ возрастает от $ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ до $ \cos(0) = 1 $.
3. На отрезке $ \left[0; \frac{3\pi}{4}\right] $ функция $ \cos x $ убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, наименьшее значение функции на всем отрезке равно $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $, а наибольшее равно $ 1 $. Область значений функции: $ E(y) = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right] $.

Теперь рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $ a $.

При $ a < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ a > 1 $
Значение $ a $ находится вне области значений функции на данном отрезке, поэтому прямая $ y=a $ не пересекает график $ y=\cos x $.
Ответ: 0 корней.

При $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Прямая $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ пересекает график в одной точке, соответствующей правому концу отрезка: $ x = \frac{3\pi}{4} $.
Ответ: 1 корень.

При $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1}{2} $
Прямая $ y=a $ пересекает график функции только один раз. Это пересечение происходит на участке убывания $ \left(0, \frac{3\pi}{4}\right) $. На участке возрастания $ \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right] $ значения $ \cos x $ не меньше $ \frac{1}{2} $, поэтому там пересечений нет.
Ответ: 1 корень.

При $ a = \frac{1}{2} $
Прямая $ y=\frac{1}{2} $ пересекает график в двух точках: $ x_1 = -\frac{\pi}{3} $ (левый конец отрезка) и $ x_2 = \frac{\pi}{3} $ (на участке убывания).
Ответ: 2 корня.

При $ \frac{1}{2} < a < 1 $
Прямая $ y=a $ пересекает график дважды: один раз на участке возрастания $ \left(-\frac{\pi}{3}, 0\right) $ и один раз на участке убывания $ \left(0, \frac{\pi}{3}\right) $.
Ответ: 2 корня.

При $ a = 1 $
Прямая $ y=1 $ касается графика в точке максимума $ x = 0 $.
Ответ: 1 корень.

Общий итог:

• Если $ a \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup (1; +\infty) $, то корней нет.
• Если $ a \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}\right) \cup \{1\} $, то один корень.
• Если $ a \in \left[\frac{1}{2}; 1\right) $, то два корня.

230. Определите графически количество корней уравнения:

1) $ \cos x = 3x $;

2) $ \cos x = 2x^2 - 1 $.

1)Для того чтобы графически определить количество корней уравнения $ \cos x = 3x $, необходимо построить графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x $ и найти количество точек их пересечения.
График функции $ y = \cos x $ — это косинусоида, значения которой лежат в промежутке $ [-1; 1] $.
График функции $ y = 3x $ — это прямая, проходящая через начало координат.
Поскольку значения функции $ \cos x $ ограничены отрезком $ [-1; 1] $, точки пересечения могут существовать только при условии $ -1 \le 3x \le 1 $, то есть при $ - \frac{1}{3} \le x \le \frac{1}{3} $.
Рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x - 3x $. Количество корней исходного уравнения равно количеству нулей этой функции.
Найдем производную этой функции: $ f'(x) = (\cos x - 3x)' = -\sin x - 3 $.
Так как область значений функции синуса $ -1 \le \sin x \le 1 $, то область значений производной $ f'(x) $ находится в пределах $ -4 \le f'(x) \le -2 $.
Поскольку производная $ f'(x) $ всегда отрицательна, функция $ f(x) $ является строго убывающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. обращаться в ноль) не более одного раза.
Чтобы убедиться, что корень существует, проверим значения функции $ f(x) $ на концах отрезка $ [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}] $:
$ f(-\frac{1}{3}) = \cos(-\frac{1}{3}) - 3(-\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) + 1 > 0 $.
$ f(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{3}) = \cos(\frac{1}{3}) - 1 < 0 $ (поскольку $ \cos x < 1 $ при $ x \ne 2\pi k, k \in \mathbb{Z} $).
Так как функция $ f(x) $ непрерывна и принимает на концах отрезка $ [-\frac{1}{3}; \frac{1}{3}] $ значения разных знаков, она имеет ровно один корень на этом отрезке.
Следовательно, графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 3x $ пересекаются ровно в одной точке.

Ответ: 1.

2)Для определения количества корней уравнения $ \cos x = 2x^2 - 1 $ построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = 2x^2 - 1 $.
График функции $ y = \cos x $ — косинусоида. Это четная функция, область ее значений $ [-1; 1] $.
График функции $ y = 2x^2 - 1 $ — парабола с вершиной в точке $ (0; -1) $, ветви которой направлены вверх. Это также четная функция.
Точки пересечения графиков могут существовать только для тех значений $x$, для которых значения параболы $ y = 2x^2 - 1 $ лежат в области значений косинуса, то есть $ -1 \le 2x^2 - 1 \le 1 $.
Решим это двойное неравенство: $ 0 \le 2x^2 \le 2 $, что равносильно $ 0 \le x^2 \le 1 $. Отсюда следует, что $ -1 \le x \le 1 $. Значит, корни уравнения, если они есть, находятся на отрезке $ [-1; 1] $.
Поскольку обе функции, $ y = \cos x $ и $ y = 2x^2 - 1 $, являются четными, их графики симметричны относительно оси ординат (оси $Oy$). Это означает, что если $ x_0 \ne 0 $ является корнем, то и $ -x_0 $ также является корнем.
Рассмотрим поведение функций для $ x \ge 0 $.
При $ x=0 $: $ \cos(0) = 1 $, а $ 2(0)^2 - 1 = -1 $. Значения не равны, следовательно, $ x=0 $ не является корнем.
Рассмотрим разность функций $ g(x) = \cos x - (2x^2 - 1) $ на отрезке $ [0; 1] $.
$ g(0) = \cos(0) - (-1) = 1 + 1 = 2 > 0 $.
$ g(1) = \cos(1) - (2(1)^2 - 1) = \cos(1) - 1 < 0 $.
Так как функция $ g(x) $ непрерывна на $ [0; 1] $ и принимает на его концах значения разных знаков, на интервале $ (0; 1) $ существует как минимум один корень.
Для определения точного количества корней на этом промежутке, найдем производную: $ g'(x) = -\sin x - 4x $.
Для всех $ x \in (0; 1] $, $ \sin x > 0 $ и $ 4x > 0 $, следовательно, $ g'(x) = -(\sin x + 4x) < 0 $.
Поскольку производная отрицательна, функция $ g(x) $ строго убывает на промежутке $ [0; \infty) $. Это значит, что на этом промежутке она может иметь не более одного корня.
Таким образом, на промежутке $ (0; 1] $ существует ровно один корень.
В силу четности обеих функций, существует также ровно один корень на промежутке $ [-1; 0) $.
Всего уравнение имеет два корня.

Ответ: 2.