Номер 224, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

224. Решите уравнение:

1) $ \sin^2 5x = \frac{1}{2}; $

2) $ \cos^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{4}; $

3) $ 6\cos^2 x - 1 = 0. $

1) $\sin^2 5x = \frac{1}{2}$
Для решения уравнений такого вида удобно использовать формулу понижения степени: $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
Применим эту формулу к нашему уравнению:
$\frac{1 - \cos(2 \cdot 5x)}{2} = \frac{1}{2}$
$\frac{1 - \cos(10x)}{2} = \frac{1}{2}$
Умножим обе части уравнения на 2:
$1 - \cos(10x) = 1$
$-\cos(10x) = 0$
$\cos(10x) = 0$
Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения, решение которого имеет вид:
$10x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 10:
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2) $\cos^2 \frac{x}{3} = \frac{1}{4}$
Воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.
Подставим в уравнение:
$\frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{x}{3})}{2} = \frac{1}{4}$
$\frac{1 + \cos(\frac{2x}{3})}{2} = \frac{1}{4}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(\frac{2x}{3}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Выразим $\cos(\frac{2x}{3})$:
$\cos(\frac{2x}{3}) = \frac{1}{2} - 1$
$\cos(\frac{2x}{3}) = -\frac{1}{2}$
Общее решение для уравнения $\cos t = a$ имеет вид $t = \pm \arccos(a) + 2\pi n$.
$\frac{2x}{3} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Так как значение $\arccos(-\frac{1}{2})$ равно $\frac{2\pi}{3}$, получаем:
$\frac{2x}{3} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
Чтобы найти $x$, умножим обе части на $\frac{3}{2}$:
$x = (\pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n) \cdot \frac{3}{2}$
$x = \pm \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \pi + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

3) $6\cos^2 x - 1 = 0$
Сначала выразим $\cos^2 x$ из уравнения:
$6\cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = \frac{1}{6}$
Снова применим формулу понижения степени $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$:
$\frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac{1}{6}$
Умножим обе части на 2:
$1 + \cos(2x) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Выразим $\cos(2x)$:
$\cos(2x) = \frac{1}{3} - 1$
$\cos(2x) = -\frac{2}{3}$
Запишем общее решение:
$2x = \pm \arccos(-\frac{2}{3}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:
$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{2}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.