Номер 218, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha = 4 \cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha$

2) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \mathrm{tg}\, 2\alpha$

3) $\frac{\sin 3\alpha - \sin \alpha + \cos 2\alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha + \sin 2\alpha} = \mathrm{ctg}\, 2\alpha$

4) $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$

1) Докажем тождество $\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha = 4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые: $(\sin7\alpha + \sin\alpha) + (\sin5\alpha + \sin3\alpha)$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Для первой группы: $\sin7\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$.

Для второй группы: $\sin5\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Подставим полученные выражения в левую часть: $2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель $2\sin4\alpha$ за скобки: $2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$.

Теперь применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\cos3\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим это в наше выражение: $2\sin4\alpha(2\cos2\alpha\cos\alpha) = 4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \tan2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Преобразуем числитель по формуле суммы синусов: $\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos\alpha$: $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha + \cos2\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha + \sin2\alpha} = \cot2\alpha$.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.

Для числителя используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin3\alpha - \sin\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha$.

Тогда числитель равен: $2\cos2\alpha\sin\alpha + \cos2\alpha = \cos2\alpha(2\sin\alpha + 1)$.

Для знаменателя используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $2\sin2\alpha\sin\alpha + \sin2\alpha = \sin2\alpha(2\sin\alpha + 1)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{\cos2\alpha(2\sin\alpha + 1)}{\sin2\alpha(2\sin\alpha + 1)}$.

Сократим общий множитель $(2\sin\alpha + 1)$: $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.

По определению котангенса, $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \cot2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin2\alpha\sin2\beta$.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = (\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение.

Для первого множителя (разность синусов): $\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Для второго множителя (сумма синусов): $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Перемножим полученные выражения: $(2\cos\alpha\sin\beta)(2\sin\alpha\cos\beta) = 4\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta$.

Сгруппируем множители: $(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta)$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x = \sin2x$.

$(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta) = \sin2\alpha\sin2\beta$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.