Номер 215, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Преобразуйте в произведение:

1) $\sin 100^{\circ} - \sin 40^{\circ}$;

2) $\cos 3\alpha + \cos 11\alpha$;

3) $\sin \frac{5\pi}{8} + \sin \frac{3\pi}{8}$;

4) $\cos 2\alpha - \cos 8\alpha$;

5) $\sin \left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right) + \sin \left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right)$;

6) $\cos \left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \cos \left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right)$.

1) Для преобразования разности синусов в произведение используется формула: $\sin x - \sin y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим в формулу значения $x = 100^\circ$ и $y = 40^\circ$:
$\sin 100^\circ - \sin 40^\circ = 2 \cos\left(\frac{100^\circ+40^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{100^\circ-40^\circ}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{140^\circ}{2}\right) \sin\left(\frac{60^\circ}{2}\right) = 2 \cos(70^\circ) \sin(30^\circ)$.
Так как значение $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, то получаем:
$2 \cos(70^\circ) \cdot \frac{1}{2} = \cos(70^\circ)$.

Ответ: $\cos(70^\circ)$.

2) Для преобразования суммы косинусов в произведение используется формула: $\cos x + \cos y = 2 \cos\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Для удобства поменяем слагаемые местами: $\cos11\alpha + \cos3\alpha$. Подставим в формулу $x = 11\alpha$ и $y = 3\alpha$:
$\cos11\alpha + \cos3\alpha = 2 \cos\left(\frac{11\alpha+3\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{11\alpha-3\alpha}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{14\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{8\alpha}{2}\right) = 2 \cos(7\alpha) \cos(4\alpha)$.

Ответ: $2 \cos(7\alpha) \cos(4\alpha)$.

3) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = \frac{5\pi}{8}$ и $y = \frac{3\pi}{8}$:
$\sin\frac{5\pi}{8} + \sin\frac{3\pi}{8} = 2 \sin\left(\frac{\frac{5\pi}{8} + \frac{3\pi}{8}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{5\pi}{8} - \frac{3\pi}{8}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\frac{8\pi}{8}}{2}\right) \cos\left(\frac{\frac{2\pi}{8}}{2}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) \cos\left(\frac{\pi}{8}\right)$.
Так как значение $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, то получаем:
$2 \cdot 1 \cdot \cos(\frac{\pi}{8}) = 2\cos(\frac{\pi}{8})$.

Ответ: $2\cos(\frac{\pi}{8})$.

4) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = 2\alpha$ и $y = 8\alpha$:
$\cos2\alpha - \cos8\alpha = -2 \sin\left(\frac{2\alpha+8\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{2\alpha-8\alpha}{2}\right) = -2 \sin\left(\frac{10\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{-6\alpha}{2}\right) = -2 \sin(5\alpha) \sin(-3\alpha)$.
Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, получаем:
$-2 \sin(5\alpha) (-\sin(3\alpha)) = 2 \sin(5\alpha) \sin(3\alpha)$.

Ответ: $2 \sin(5\alpha) \sin(3\alpha)$.

5) Для преобразования суммы синусов в произведение используется формула: $\sin x + \sin y = 2 \sin\frac{x+y}{2} \cos\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = \alpha + \frac{\pi}{5}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{5}$:
$\sin\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \sin\left(\alpha - \frac{\pi}{5}\right) = 2 \sin\left(\frac{(\alpha + \frac{\pi}{5}) + (\alpha - \frac{\pi}{5})}{2}\right) \cos\left(\frac{(\alpha + \frac{\pi}{5}) - (\alpha - \frac{\pi}{5})}{2}\right)$.
Упростим аргументы функций:
$\frac{x+y}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha$
$\frac{x-y}{2} = \frac{2\pi/5}{2} = \frac{\pi}{5}$
Таким образом, получаем произведение:
$2 \sin(\alpha) \cos(\frac{\pi}{5})$.

Ответ: $2 \sin(\alpha) \cos(\frac{\pi}{5})$.

6) Для преобразования разности косинусов в произведение используется формула: $\cos x - \cos y = -2 \sin\frac{x+y}{2} \sin\frac{x-y}{2}$.
Подставим $x = 3\alpha - \frac{3\pi}{4}$ и $y = \frac{\pi}{4} + 3\alpha$:
$\cos\left(3\alpha - \frac{3\pi}{4}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4} + 3\alpha\right) = -2 \sin\left(\frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) + (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2}\right) \sin\left(\frac{(3\alpha - \frac{3\pi}{4}) - (\frac{\pi}{4} + 3\alpha)}{2}\right)$.
Упростим аргументы функций:
$\frac{x+y}{2} = \frac{6\alpha - 2\pi/4}{2} = \frac{6\alpha - \pi/2}{2} = 3\alpha - \frac{\pi}{4}$
$\frac{x-y}{2} = \frac{-4\pi/4}{2} = \frac{-\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$
Подставим упрощенные аргументы в выражение:
$-2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как значение $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, то получаем:
$-2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \cdot (-1) = 2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.

Ответ: $2 \sin\left(3\alpha - \frac{\pi}{4}\right)$.