Номер 209, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Дано: $\cos \alpha = -\frac{5}{13}$, $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$. Найдите:

1) $\sin 2\alpha$;

2) $\cos 2\alpha$;

3) $\operatorname{tg} 4\alpha$.

Поскольку по условию $180^\circ < \alpha < 270^\circ$, угол $\alpha$ находится в третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса и косинуса отрицательны.

Для дальнейших вычислений нам понадобится значение $\sin\alpha$. Найдем его, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.

$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169-25}{169} = \frac{144}{169}$.

Отсюда $\sin\alpha = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13}$.

Так как угол $\alpha$ находится в третьей четверти, его синус отрицателен, следовательно, $\sin\alpha = -\frac{12}{13}$.

1) sin2α;

Для нахождения $\sin(2\alpha)$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Подставим известные значения $\sin\alpha$ и $\cos\alpha$:

$\sin(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{2 \cdot 12 \cdot 5}{13 \cdot 13} = \frac{120}{169}$.

Ответ: $\frac{120}{169}$.

2) cos2α;

Для нахождения $\cos(2\alpha)$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла, например, $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$.

Подставим известное значение $\cos\alpha$:

$\cos(2\alpha) = 2 \cdot \left(-\frac{5}{13}\right)^2 - 1 = 2 \cdot \frac{25}{169} - 1 = \frac{50}{169} - \frac{169}{169} = \frac{50 - 169}{169} = -\frac{119}{169}$.

Ответ: $-\frac{119}{169}$.

3) tg4α.

Чтобы найти $\tg(4\alpha)$, сначала найдем $\tg(2\alpha)$.

$\tg(2\alpha) = \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}$.

Используя результаты, полученные в пунктах 1 и 2:

$\tg(2\alpha) = \frac{\frac{120}{169}}{-\frac{119}{169}} = -\frac{120}{119}$.

Теперь применим формулу тангенса двойного угла для $\tg(4\alpha) = \tg(2 \cdot 2\alpha)$:

$\tg(4\alpha) = \frac{2\tg(2\alpha)}{1 - \tg^2(2\alpha)}$.

Подставим найденное значение $\tg(2\alpha)$:

$\tg(4\alpha) = \frac{2 \cdot \left(-\frac{120}{119}\right)}{1 - \left(-\frac{120}{119}\right)^2} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{119^2}} = \frac{-\frac{240}{119}}{1 - \frac{14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{14161 - 14400}{14161}} = \frac{-\frac{240}{119}}{\frac{-239}{14161}}$.

$\tg(4\alpha) = \frac{240}{119} \cdot \frac{14161}{239} = \frac{240}{119} \cdot \frac{119^2}{239} = \frac{240 \cdot 119}{239} = \frac{28560}{239}$.

Ответ: $\frac{28560}{239}$.