Номер 205, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 14\alpha}{\sin 7\alpha}$;

2) $\frac{\cos 9\alpha}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}}$;

3) $1 - 2\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - 8\alpha \right)$;

4) $\sin \frac{4\alpha}{9} \cos \frac{4\alpha}{9} - \cos \frac{8\alpha}{9}$;

5) $\frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}}$;

6) $\frac{2\text{ctg} 4\alpha \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}$;

7) $\sin^2 5\alpha + \frac{\left( 1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2} \right)^2}{\left( 1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2} \right)^2}$.

1) Упростим выражение $ \frac{\sin 14\alpha}{\sin 7\alpha} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.

Представим $ 14\alpha $ как $ 2 \cdot 7\alpha $. Тогда, приняв $ x = 7\alpha $, получим:

$ \frac{\sin(2 \cdot 7\alpha)}{\sin 7\alpha} = \frac{2 \sin 7\alpha \cos 7\alpha}{\sin 7\alpha} $

Сократим $ \sin 7\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin 7\alpha \neq 0 $):

$ 2 \cos 7\alpha $

Ответ: $ 2 \cos 7\alpha $.

2) Упростим выражение $ \frac{\cos 9\alpha}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.

Представим $ 9\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{9\alpha}{2} $. Тогда, приняв $ x = \frac{9\alpha}{2} $, получим:

$ \cos 9\alpha = \cos^2 \frac{9\alpha}{2} - \sin^2 \frac{9\alpha}{2} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{\cos^2 \frac{9\alpha}{2} - \sin^2 \frac{9\alpha}{2}}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} = \frac{(\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2})(\cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2})}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} $

Сократим общий множитель $ (\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}) $:

$ \cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2} $

Ответ: $ \cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2} $.

3) Упростим выражение $ 1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) $.

Используем одну из формул косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует $ 1 - 2\cos^2 x = -\cos 2x $.

Применим эту формулу, приняв $ x = \frac{\pi}{4} - 8\alpha $:

$ 1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) = -\cos(2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha)) $

Упростим аргумент косинуса:

$ 2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) = \frac{2\pi}{4} - 16\alpha = \frac{\pi}{2} - 16\alpha $

Получаем выражение $ -\cos(\frac{\pi}{2} - 16\alpha) $.

Теперь применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y $:

$ -\cos(\frac{\pi}{2} - 16\alpha) = -\sin 16\alpha $

Ответ: $ -\sin 16\alpha $.

4) Упростим выражение $ \sin \frac{4\alpha}{9}\cos \frac{4\alpha}{9}\cos \frac{8\alpha}{9} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, из которой следует $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $.

Сначала преобразуем произведение первых двух множителей:

$ \sin \frac{4\alpha}{9} \cos \frac{4\alpha}{9} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{4\alpha}{9}) = \frac{1}{2} \sin \frac{8\alpha}{9} $

Подставим результат в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2} \sin \frac{8\alpha}{9}) \cos \frac{8\alpha}{9} = \frac{1}{2} (\sin \frac{8\alpha}{9} \cos \frac{8\alpha}{9}) $

Применим формулу синуса двойного угла еще раз:

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{8\alpha}{9})) = \frac{1}{4} \sin \frac{16\alpha}{9} $

Ответ: $ \frac{1}{4} \sin \frac{16\alpha}{9} $.

5) Упростим выражение $ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} $.

Используем формулу тангенса двойного угла $ \text{tg} 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x} $. Из нее следует $ \frac{\text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x} = \frac{1}{2} \text{tg} 2x $.

Рассмотрим часть выражения $ \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} $. Приняв $ x = \frac{\alpha}{10} $, получим:

$ \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} = \frac{1}{2} \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{10}) = \frac{1}{2} \text{tg} \frac{\alpha}{5} $

Подставим это в исходное выражение:

$ \text{ctg} \frac{\alpha}{5} \cdot (\frac{1}{2} \text{tg} \frac{\alpha}{5}) = \frac{1}{2} (\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \cdot \text{tg} \frac{\alpha}{5}) $

Поскольку $ \text{ctg} y \cdot \text{tg} y = 1 $, выражение упрощается до:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

6) Упростим выражение $ \frac{2 \text{ctg} 4\alpha \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} $.

Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $ \sin 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Выделим эту конструкцию в исходном выражении: $ \frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} $. Приняв $ x = 2\alpha $, получим:

$ \frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Подставим результат в исходное выражение:

$ \text{ctg} 4\alpha \cdot (\frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}) = \text{ctg} 4\alpha \cdot \sin 4\alpha $

Используя определение котангенса $ \text{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y} $, получаем:

$ \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot \sin 4\alpha = \cos 4\alpha $

Ответ: $ \cos 4\alpha $.

7) Упростим выражение $ \sin^2 5\alpha + \left(\frac{1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}\right)^2 $.

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos 2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Рассмотрим выражение в скобках. Приняв $ x = \frac{5\alpha}{2} $, получим:

$ \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}} = \cos(2 \cdot \frac{5\alpha}{2}) = \cos 5\alpha $

Подставим результат в исходное выражение:

$ \sin^2 5\alpha + (\cos 5\alpha)^2 = \sin^2 5\alpha + \cos^2 5\alpha $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $:

$ \sin^2 5\alpha + \cos^2 5\alpha = 1 $

Ответ: 1.