Номер 208, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

208. Докажите тождество:

1) $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha = 1;$

2) $\operatorname{ctg} 2\alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha;$

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha - \sin \alpha}{\sin 2\alpha - \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha.$

1) Докажем тождество $2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos\alpha = 1$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.
Если принять $x = \frac{\alpha}{2}$, то $2x = \alpha$, и формула примет вид: $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Из этой формулы выразим $2\sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$.
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos\alpha = (1 - \cos\alpha) + \cos\alpha = 1 - \cos\alpha + \cos\alpha = 1$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\text{ctg}\,2\alpha(1 - \cos4\alpha) = \sin4\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства, используя следующие тригонометрические формулы:
1. Определение котангенса: $\text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
2. Формула понижения степени (следствие из косинуса двойного угла): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$.
3. Формула синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Запишем левую часть тождества, используя определение котангенса:
$\text{ctg}\,2\alpha(1 - \cos4\alpha) = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot (1 - \cos4\alpha)$.
Применим формулу понижения степени к выражению в скобках, считая $x=2\alpha$ (тогда $2x=4\alpha$):
$1 - \cos4\alpha = 2\sin^22\alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot 2\sin^22\alpha$.
Сократим дробь на $\sin2\alpha$ (при условии $\sin2\alpha \neq 0$):
$\cos2\alpha \cdot 2\sin2\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла, считая $x=2\alpha$:
$2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin4\alpha$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{1 - \cos2\alpha - \sin\alpha}{\sin2\alpha - \cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулы двойного угла:
$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби.
Преобразуем числитель:
$1 - \cos2\alpha - \sin\alpha = 1 - (1 - 2\sin^2\alpha) - \sin\alpha = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha - \sin\alpha = 2\sin^2\alpha - \sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$\sin2\alpha - \cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos\alpha$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha - \cos\alpha}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе ($\sin\alpha$) и в знаменателе ($\cos\alpha$):
$\frac{\sin\alpha(2\sin\alpha - 1)}{\cos\alpha(2\sin\alpha - 1)}$.
Сократим общий множитель $(2\sin\alpha - 1)$ (при условии, что $2\sin\alpha - 1 \neq 0$):
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
По определению тангенса, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha$.
Левая часть тождества равна правой для всех допустимых значений $\alpha$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.