Номер 222, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Докажите тождество:

1) $\sin 2\alpha + 2\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = 0,5$;

2) $\sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha$;

3) $\sin^2 2\alpha - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \frac{1}{4}$;

4) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем второе слагаемое в левой части, используя формулу произведения синуса на косинус: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

В нашем случае пусть $A = \frac{5\pi}{12} - \alpha$ и $B = \frac{5\pi}{12} + \alpha$.

Тогда их сумма и разность равны:

$A+B = \left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right) + \left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$.

$A-B = \left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right) - \left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = -2\alpha$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$2\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \sin(-2\alpha)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и, по свойству нечетности синуса, $\sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha$.

Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{1}{2} - \sin 2\alpha$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного тождества:

$\sin 2\alpha + \left(\frac{1}{2} - \sin 2\alpha\right) = \sin 2\alpha - \sin 2\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Выразим аргументы $5\alpha$ и $7\alpha$ через $6\alpha$ и $\alpha$:

$5\alpha = 6\alpha - \alpha$

$7\alpha = 6\alpha + \alpha$

Тогда левая часть примет вид:

$\sin(6\alpha - \alpha)\sin\alpha + \cos(6\alpha + \alpha)\cos\alpha$.

Применим формулы синуса разности и косинуса суммы:

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Подставив, получим:

$(\sin 6\alpha \cos \alpha - \cos 6\alpha \sin \alpha)\sin \alpha + (\cos 6\alpha \cos \alpha - \sin 6\alpha \sin \alpha)\cos \alpha$.

Раскроем скобки:

$\sin 6\alpha \cos \alpha \sin \alpha - \cos 6\alpha \sin^2 \alpha + \cos 6\alpha \cos^2 \alpha - \sin 6\alpha \sin \alpha \cos \alpha$.

Первый и четвертый члены взаимно уничтожаются. Оставшееся выражение:

$\cos 6\alpha \cos^2 \alpha - \cos 6\alpha \sin^2 \alpha$.

Вынесем общий множитель $\cos 6\alpha$ за скобки:

$\cos 6\alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В итоге получаем: $\cos 6\alpha \cos 2\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Рассмотрим второе слагаемое левой части: $\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right)$.

Применим формулу приведения $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ ко второму множителю:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\alpha\right) = \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Теперь левая часть исходного тождества выглядит так:

$\sin^2 2\alpha - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin(A-B)\sin(A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$.

В данном случае $A = 2\alpha$ и $B = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin^2(2\alpha) - \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Подставим это обратно в выражение для левой части:

$\sin^2 2\alpha - \left(\sin^2(2\alpha) - \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin^2 2\alpha - \sin^2(2\alpha) + \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

После упрощения остается только $\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества, начав с члена $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.

Используем формулы косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Их произведение представляет собой разность квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) = (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Чтобы упростить выражение, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + (1 - \cos^2\alpha)(1 - \cos^2\beta)$.

Раскроем скобки в последнем произведении:

$(1 - \cos^2\alpha)(1 - \cos^2\beta) = 1 - \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha\cos^2\beta$.

Теперь подставим это в наше выражение и приведем подобные слагаемые:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + 1 - \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha\cos^2\beta$.

$(\cos^2\alpha - \cos^2\alpha) + (\cos^2\beta - \cos^2\beta) + (-\cos^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta) + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.