Страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Преобразуйте в произведение:

1) $2\cos\alpha - 1$;

2) $\sqrt{3} + 2\sin\alpha$.

1) Для преобразования выражения $2\cos\alpha - 1$ в произведение, представим число 1 через функцию косинуса. Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$, следовательно, $1 = 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\cos(\frac{\pi}{3})$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$2\cos\alpha - 1 = 2\cos\alpha - 2\cos(\frac{\pi}{3})$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\cos\alpha - \cos(\frac{\pi}{3}))$

Теперь воспользуемся формулой разности косинусов: $\cos x - \cos y = -2\sin(\frac{x+y}{2})\sin(\frac{x-y}{2})$.

В нашем случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{3}$. Применим формулу:

$2 \cdot \left(-2\sin\left(\frac{\alpha + \frac{\pi}{3}}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \frac{\pi}{3}}{2}\right)\right) = -4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}\right)$

Используя свойство нечетности синуса $\sin(-z) = -\sin(z)$, можно преобразовать второй множитель: $\sin(\frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2})$.

Тогда выражение примет вид:

$-4\sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6}\right)\left(-\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

2) Для преобразования выражения $\sqrt{3} + 2\sin\alpha$ в произведение, представим число $\sqrt{3}$ через функцию синуса. Мы знаем, что $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно, $\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sin(\frac{\pi}{3})$.

Подставим это значение в исходное выражение:

$\sqrt{3} + 2\sin\alpha = 2\sin(\frac{\pi}{3}) + 2\sin\alpha$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2(\sin(\frac{\pi}{3}) + \sin\alpha)$

Теперь воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2\sin(\frac{x+y}{2})\cos(\frac{x-y}{2})$.

В нашем случае $x = \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha$. Применим формулу:

$2 \cdot \left(2\sin\left(\frac{\frac{\pi}{3} + \alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{\pi}{3} - \alpha}{2}\right)\right) = 4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $4\sin\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \frac{\alpha}{2}\right)$

218. Докажите тождество:

1) $\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \sin 7\alpha = 4 \cos \alpha \cos 2\alpha \sin 4\alpha$

2) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \mathrm{tg}\, 2\alpha$

3) $\frac{\sin 3\alpha - \sin \alpha + \cos 2\alpha}{\cos \alpha - \cos 3\alpha + \sin 2\alpha} = \mathrm{ctg}\, 2\alpha$

4) $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin 2\alpha \sin 2\beta$

1) Докажем тождество $\sin\alpha + \sin3\alpha + \sin5\alpha + \sin7\alpha = 4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства. Сгруппируем слагаемые: $(\sin7\alpha + \sin\alpha) + (\sin5\alpha + \sin3\alpha)$.

Воспользуемся формулой суммы синусов: $\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

Для первой группы: $\sin7\alpha + \sin\alpha = 2\sin\frac{7\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{7\alpha-\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos3\alpha$.

Для второй группы: $\sin5\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{5\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{5\alpha-3\alpha}{2} = 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Подставим полученные выражения в левую часть: $2\sin4\alpha\cos3\alpha + 2\sin4\alpha\cos\alpha$.

Вынесем общий множитель $2\sin4\alpha$ за скобки: $2\sin4\alpha(\cos3\alpha + \cos\alpha)$.

Теперь применим формулу суммы косинусов: $\cos x + \cos y = 2\cos\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}$.

$\cos3\alpha + \cos\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим это в наше выражение: $2\sin4\alpha(2\cos2\alpha\cos\alpha) = 4\cos\alpha\cos2\alpha\sin4\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin\alpha + \sin3\alpha}{\cos\alpha + \cos3\alpha} = \tan2\alpha$.

Преобразуем левую часть равенства, используя формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Преобразуем числитель по формуле суммы синусов: $\sin\alpha + \sin3\alpha = 2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\sin2\alpha\cos\alpha$.

Преобразуем знаменатель по формуле суммы косинусов: $\cos\alpha + \cos3\alpha = 2\cos\frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\cos\alpha$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{2\sin2\alpha\cos\alpha}{2\cos2\alpha\cos\alpha}$.

Сократим общие множители $2$ и $\cos\alpha$: $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha}$.

По определению тангенса, $\frac{\sin2\alpha}{\cos2\alpha} = \tan2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{\sin3\alpha - \sin\alpha + \cos2\alpha}{\cos\alpha - \cos3\alpha + \sin2\alpha} = \cot2\alpha$.

Преобразуем числитель и знаменатель дроби в левой части.

Для числителя используем формулу разности синусов $\sin x - \sin y = 2\cos\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\sin3\alpha - \sin\alpha = 2\cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\sin\frac{3\alpha-\alpha}{2} = 2\cos2\alpha\sin\alpha$.

Тогда числитель равен: $2\cos2\alpha\sin\alpha + \cos2\alpha = \cos2\alpha(2\sin\alpha + 1)$.

Для знаменателя используем формулу разности косинусов $\cos x - \cos y = -2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2}$:

$\cos\alpha - \cos3\alpha = -2\sin\frac{\alpha+3\alpha}{2}\sin\frac{\alpha-3\alpha}{2} = -2\sin2\alpha\sin(-\alpha) = 2\sin2\alpha\sin\alpha$.

Тогда знаменатель равен: $2\sin2\alpha\sin\alpha + \sin2\alpha = \sin2\alpha(2\sin\alpha + 1)$.

Подставим преобразованные выражения в дробь: $\frac{\cos2\alpha(2\sin\alpha + 1)}{\sin2\alpha(2\sin\alpha + 1)}$.

Сократим общий множитель $(2\sin\alpha + 1)$: $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha}$.

По определению котангенса, $\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} = \cot2\alpha$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Докажем тождество $\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \sin2\alpha\sin2\beta$.

Преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = (\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta))(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta))$.

Применим формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение.

Для первого множителя (разность синусов): $\sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta) = 2\cos\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\sin\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\cos\alpha\sin\beta$.

Для второго множителя (сумма синусов): $\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta) = 2\sin\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)}{2}\cos\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha-\beta)}{2} = 2\sin\alpha\cos\beta$.

Перемножим полученные выражения: $(2\cos\alpha\sin\beta)(2\sin\alpha\cos\beta) = 4\sin\alpha\cos\alpha\sin\beta\cos\beta$.

Сгруппируем множители: $(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta)$.

Используем формулу синуса двойного угла $2\sin x\cos x = \sin2x$.

$(2\sin\alpha\cos\alpha)(2\sin\beta\cos\beta) = \sin2\alpha\sin2\beta$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

219. Упростите выражение:

1) $ \frac{(\sin 8\alpha - \sin 2\alpha)(\cos 2\alpha - \cos 8\alpha)}{1 - \cos 6\alpha} $

2) $ \left(\frac{\sin 3\alpha}{\sin 5\alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos 5\alpha}\right) \cdot \frac{\sin 9\alpha + \sin 11\alpha}{\sin 2\alpha} $

3) $ (\cos \alpha - \cos \beta)^2 + (\sin \alpha + \sin \beta)^2. $

1) Упростим выражение $ \frac{(\sin{8\alpha} - \sin{2\alpha})(\cos{2\alpha} - \cos{8\alpha})}{1 - \cos{6\alpha}} $.

Для преобразования числителя используем формулы разности синусов и разности косинусов:

$ \sin x - \sin y = 2\sin{\frac{x-y}{2}}\cos{\frac{x+y}{2}} $

$ \cos x - \cos y = -2\sin{\frac{x+y}{2}}\sin{\frac{x-y}{2}} $

Применим эти формулы к множителям в числителе:

$ \sin{8\alpha} - \sin{2\alpha} = 2\sin{\frac{8\alpha-2\alpha}{2}}\cos{\frac{8\alpha+2\alpha}{2}} = 2\sin{3\alpha}\cos{5\alpha} $

$ \cos{2\alpha} - \cos{8\alpha} = -2\sin{\frac{2\alpha+8\alpha}{2}}\sin{\frac{2\alpha-8\alpha}{2}} = -2\sin{5\alpha}\sin{(-3\alpha)} = 2\sin{5\alpha}\sin{3\alpha} $ (так как $ \sin(-x) = -\sin x $)

Теперь числитель имеет вид:

$ (2\sin{3\alpha}\cos{5\alpha})(2\sin{5\alpha}\sin{3\alpha}) = 4\sin^2{3\alpha}\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin{2x} = 2\sin x \cos x $, получаем:

$ 4\sin^2{3\alpha}\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} = 2\sin^2{3\alpha}(2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}) = 2\sin^2{3\alpha}\sin{10\alpha} $

Для преобразования знаменателя используем формулу понижения степени (или косинуса двойного угла $ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2 x $):

$ 1 - \cos{6\alpha} = 2\sin^2{\frac{6\alpha}{2}} = 2\sin^2{3\alpha} $

Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходное выражение:

$ \frac{2\sin^2{3\alpha}\sin{10\alpha}}{2\sin^2{3\alpha}} $

Сокращаем $ 2\sin^2{3\alpha} $ (при условии, что $ \sin{3\alpha} \neq 0 $):

$ \sin{10\alpha} $

Ответ: $ \sin{10\alpha} $

2) Упростим выражение $ (\frac{\sin{3\alpha}}{\sin{5\alpha}} - \frac{\cos{3\alpha}}{\cos{5\alpha}}) \cdot \frac{\sin{9\alpha} + \sin{11\alpha}}{\sin{2\alpha}} $.

Сначала преобразуем выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:

$ \frac{\sin{3\alpha}}{\sin{5\alpha}} - \frac{\cos{3\alpha}}{\cos{5\alpha}} = \frac{\sin{3\alpha}\cos{5\alpha} - \cos{3\alpha}\sin{5\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} $

В числителе используем формулу синуса разности $ \sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $:

$ \sin{3\alpha}\cos{5\alpha} - \cos{3\alpha}\sin{5\alpha} = \sin(3\alpha - 5\alpha) = \sin(-2\alpha) = -\sin{2\alpha} $

Выражение в скобках принимает вид:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} $

Теперь преобразуем вторую дробь. Для числителя используем формулу суммы синусов $ \sin x + \sin y = 2\sin{\frac{x+y}{2}}\cos{\frac{x-y}{2}} $:

$ \sin{9\alpha} + \sin{11\alpha} = 2\sin{\frac{9\alpha+11\alpha}{2}}\cos{\frac{9\alpha-11\alpha}{2}} = 2\sin{10\alpha}\cos(-\alpha) = 2\sin{10\alpha}\cos\alpha $

Вторая дробь принимает вид:

$ \frac{2\sin{10\alpha}\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Теперь перемножим преобразованные части:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} \cdot \frac{2\sin{10\alpha}\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Используя формулу синуса двойного угла $ \sin{10\alpha} = 2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $, подставим ее в выражение:

$ \frac{-\sin{2\alpha}}{\sin{5\alpha}\cos{5\alpha}} \cdot \frac{2(2\sin{5\alpha}\cos{5\alpha})\cos\alpha}{\sin{2\alpha}} $

Сокращаем одинаковые множители $ \sin{2\alpha} $ и $ \sin{5\alpha}\cos{5\alpha} $ (при условии, что они не равны нулю):

$ -1 \cdot \frac{2 \cdot 2 \cdot \cos\alpha}{1} = -4\cos\alpha $

Ответ: $ -4\cos\alpha $

3) Упростим выражение $ (\cos{\alpha} - \cos{\beta})^2 + (\sin{\alpha} + \sin{\beta})^2 $.

Раскроем квадраты, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$ (\cos{\alpha} - \cos{\beta})^2 = \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta $

$ (\sin{\alpha} + \sin{\beta})^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta $

Сложим полученные выражения:

$ (\cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta) + (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta) $

Сгруппируем слагаемые:

$ (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) + (\cos^2\beta + \sin^2\beta) - 2\cos\alpha\cos\beta + 2\sin\alpha\sin\beta $

Используя основное тригонометрическое тождество $ \sin^2x + \cos^2x = 1 $, получаем:

$ 1 + 1 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $

$ 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta) $

Выражение в скобках является формулой косинуса суммы $ \cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y $:

$ 2 - 2\cos(\alpha+\beta) $

Можно продолжить упрощение, вынеся 2 за скобки и применив формулу $ 1 - \cos{2x} = 2\sin^2x $:

$ 2(1 - \cos(\alpha+\beta)) = 2 \cdot (2\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}}) = 4\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}} $

Ответ: $ 4\sin^2{\frac{\alpha+\beta}{2}} $ (или $ 2 - 2\cos(\alpha+\beta) $)

220. Докажите тождество

$4\sin^2 \alpha - 3 = -4 \cos \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства тождества $4\sin^2 \alpha - 3 = -4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$ преобразуем его правую часть.

Сначала упростим произведение косинусов, используя формулы косинуса суммы и разности:
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Тогда:
$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)$.

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha\right)^2 - \left(\sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{6}\cos^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{6}\sin^2\alpha$.

Подставим известные значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cos^2\alpha - \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\alpha = \frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:
$-4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = -4\left(\frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha\right)$.
Раскрывая скобки, получаем:
$-4 \cdot \frac{3}{4}\cos^2\alpha + 4 \cdot \frac{1}{4}\sin^2\alpha = -3\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Чтобы привести это выражение к виду левой части, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:
$-3(1 - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha = -3 + 3\sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3$.

Мы показали, что правая часть тождества равна $4\sin^2\alpha - 3$, что совпадает с левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

221. Преобразуйте в сумму произведение:

1) $\sin \alpha \sin 7\alpha$;

2) $\cos \frac{5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}$;

3) $\sin 36^\circ \cos 24^\circ$;

4) $\sin \frac{11\pi}{24} \sin \frac{7\pi}{24}$;

5) $\cos(\alpha - \beta)\cos(\alpha + \beta)$;

6) $\sin \alpha \cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$.

1) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $sin(x)sin(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.
В данном случае $x = \alpha$ и $y = 7\alpha$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\alpha \ sin7\alpha = \frac{1}{2}(cos(\alpha - 7\alpha) - cos(\alpha + 7\alpha)) = \frac{1}{2}(cos(-6\alpha) - cos(8\alpha))$.
Так как косинус является четной функцией ($cos(-z) = cos(z)$), то $cos(-6\alpha) = cos(6\alpha)$.
Следовательно, выражение равно $\frac{1}{2}(cos(6\alpha) - cos(8\alpha)) = \frac{1}{2}cos(6\alpha) - \frac{1}{2}cos(8\alpha)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(6\alpha) - \frac{1}{2}cos(8\alpha)$.

2) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
В данном случае $x = \frac{5\alpha}{2}$ и $y = \frac{3\alpha}{2}$.
Подставляем значения в формулу:
$cos\frac{5\alpha}{2} \ cos\frac{3\alpha}{2} = \frac{1}{2}(cos(\frac{5\alpha}{2} - \frac{3\alpha}{2}) + cos(\frac{5\alpha}{2} + \frac{3\alpha}{2})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{2\alpha}{2}) + cos(\frac{8\alpha}{2})) = \frac{1}{2}(cos(\alpha) + cos(4\alpha))$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(\alpha) + \frac{1}{2}cos(4\alpha)$.

3) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x+y) + sin(x-y))$.
В данном случае $x = 36°$ и $y = 24°$.
Подставляем значения в формулу:
$sin36° \ cos24° = \frac{1}{2}(sin(36°+24°) + sin(36°-24°)) = \frac{1}{2}(sin(60°) + sin(12°))$.
Поскольку $sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} + sin(12°)) = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}sin(12°)$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}sin(12°)$.

4) Для преобразования произведения синусов в сумму используется формула $sin(x)sin(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) - cos(x+y))$.
В данном случае $x = \frac{11\pi}{24}$ и $y = \frac{7\pi}{24}$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\frac{11\pi}{24} \ sin\frac{7\pi}{24} = \frac{1}{2}(cos(\frac{11\pi}{24} - \frac{7\pi}{24}) - cos(\frac{11\pi}{24} + \frac{7\pi}{24})) = \frac{1}{2}(cos(\frac{4\pi}{24}) - cos(\frac{18\pi}{24}))$.
Упрощаем дроби в аргументах: $\frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$ и $\frac{18\pi}{24} = \frac{3\pi}{4}$.
Выражение принимает вид: $\frac{1}{2}(cos(\frac{\pi}{6}) - cos(\frac{3\pi}{4}))$.
Находим значения косинусов: $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $cos(\frac{3\pi}{4}) = -cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Подставляем значения: $\frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2})) = \frac{1}{2}(\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{4}$.

5) Для преобразования произведения косинусов в сумму используется формула $cos(x)cos(y) = \frac{1}{2}(cos(x-y) + cos(x+y))$.
В данном случае $x = \alpha - \beta$ и $y = \alpha + \beta$.
Подставляем значения в формулу:
$cos(\alpha-\beta) \ cos(\alpha+\beta) = \frac{1}{2}(cos((\alpha-\beta) - (\alpha+\beta)) + cos((\alpha-\beta) + (\alpha+\beta)))$.
$= \frac{1}{2}(cos(\alpha - \beta - \alpha - \beta) + cos(\alpha - \beta + \alpha + \beta)) = \frac{1}{2}(cos(-2\beta) + cos(2\alpha))$.
Так как косинус является четной функцией, $cos(-2\beta) = cos(2\beta)$.
Получаем: $\frac{1}{2}(cos(2\beta) + cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}cos(2\beta)$.
Ответ: $\frac{1}{2}cos(2\alpha) + \frac{1}{2}cos(2\beta)$.

6) Для преобразования произведения синуса на косинус в сумму используется формула $sin(x)cos(y) = \frac{1}{2}(sin(x+y) + sin(x-y))$.
В данном случае $x = \alpha$ и $y = \frac{\pi}{6} - \alpha$.
Подставляем значения в формулу:
$sin\alpha \ cos(\frac{\pi}{6}-\alpha) = \frac{1}{2}(sin(\alpha + (\frac{\pi}{6}-\alpha)) + sin(\alpha - (\frac{\pi}{6}-\alpha)))$.
$= \frac{1}{2}(sin(\frac{\pi}{6}) + sin(\alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha)) = \frac{1}{2}(sin(\frac{\pi}{6}) + sin(2\alpha - \frac{\pi}{6}))$.
Поскольку $sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2}(\frac{1}{2} + sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})$.
Ответ: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2}sin(2\alpha - \frac{\pi}{6})$.

222. Докажите тождество:

1) $\sin 2\alpha + 2\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = 0,5$;

2) $\sin 5\alpha \sin \alpha + \cos 7\alpha \cos \alpha = \cos 6\alpha \cos 2\alpha$;

3) $\sin^2 2\alpha - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \frac{1}{4}$;

4) $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos(\alpha + \beta)\cos(\alpha - \beta) = 1$.

1)

Для доказательства тождества преобразуем второе слагаемое в левой части, используя формулу произведения синуса на косинус: $2\sin A \cos B = \sin(A+B) + \sin(A-B)$.

В нашем случае пусть $A = \frac{5\pi}{12} - \alpha$ и $B = \frac{5\pi}{12} + \alpha$.

Тогда их сумма и разность равны:

$A+B = \left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right) + \left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = \frac{10\pi}{12} = \frac{5\pi}{6}$.

$A-B = \left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right) - \left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = -2\alpha$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$2\sin\left(\frac{5\pi}{12} - \alpha\right)\cos\left(\frac{5\pi}{12} + \alpha\right) = \sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) + \sin(-2\alpha)$.

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ и, по свойству нечетности синуса, $\sin(-2\alpha) = -\sin 2\alpha$.

Таким образом, выражение упрощается до: $\frac{1}{2} - \sin 2\alpha$.

Теперь подставим полученный результат в левую часть исходного тождества:

$\sin 2\alpha + \left(\frac{1}{2} - \sin 2\alpha\right) = \sin 2\alpha - \sin 2\alpha + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства преобразуем левую часть тождества. Выразим аргументы $5\alpha$ и $7\alpha$ через $6\alpha$ и $\alpha$:

$5\alpha = 6\alpha - \alpha$

$7\alpha = 6\alpha + \alpha$

Тогда левая часть примет вид:

$\sin(6\alpha - \alpha)\sin\alpha + \cos(6\alpha + \alpha)\cos\alpha$.

Применим формулы синуса разности и косинуса суммы:

$\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$

$\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$

Подставив, получим:

$(\sin 6\alpha \cos \alpha - \cos 6\alpha \sin \alpha)\sin \alpha + (\cos 6\alpha \cos \alpha - \sin 6\alpha \sin \alpha)\cos \alpha$.

Раскроем скобки:

$\sin 6\alpha \cos \alpha \sin \alpha - \cos 6\alpha \sin^2 \alpha + \cos 6\alpha \cos^2 \alpha - \sin 6\alpha \sin \alpha \cos \alpha$.

Первый и четвертый члены взаимно уничтожаются. Оставшееся выражение:

$\cos 6\alpha \cos^2 \alpha - \cos 6\alpha \sin^2 \alpha$.

Вынесем общий множитель $\cos 6\alpha$ за скобки:

$\cos 6\alpha (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)$.

Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла: $\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$.

В итоге получаем: $\cos 6\alpha \cos 2\alpha$.

Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Рассмотрим второе слагаемое левой части: $\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right)$.

Применим формулу приведения $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ ко второму множителю:

$\cos\left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \left(\frac{\pi}{3} - 2\alpha\right)\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + 2\alpha\right) = \sin\left(\frac{3\pi - 2\pi}{6} + 2\alpha\right) = \sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Теперь левая часть исходного тождества выглядит так:

$\sin^2 2\alpha - \sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right)$.

Воспользуемся формулой произведения синусов $\sin(A-B)\sin(A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$.

В данном случае $A = 2\alpha$ и $B = \frac{\pi}{6}$.

Тогда $\sin\left(2\alpha - \frac{\pi}{6}\right)\sin\left(2\alpha + \frac{\pi}{6}\right) = \sin^2(2\alpha) - \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Подставим это обратно в выражение для левой части:

$\sin^2 2\alpha - \left(\sin^2(2\alpha) - \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) = \sin^2 2\alpha - \sin^2(2\alpha) + \sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

После упрощения остается только $\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right)$.

Вычисляем значение: $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$, следовательно, $\sin^2\left(\frac{\pi}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества, начав с члена $\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)$.

Используем формулы косинуса суммы и разности углов:

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$

Их произведение представляет собой разность квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:

$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta) = (\cos\alpha\cos\beta)^2 - (\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Подставим это выражение в левую часть исходного тождества:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - (\cos^2\alpha\cos^2\beta - \sin^2\alpha\sin^2\beta) = \cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + \sin^2\alpha\sin^2\beta$.

Чтобы упростить выражение, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + (1 - \cos^2\alpha)(1 - \cos^2\beta)$.

Раскроем скобки в последнем произведении:

$(1 - \cos^2\alpha)(1 - \cos^2\beta) = 1 - \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha\cos^2\beta$.

Теперь подставим это в наше выражение и приведем подобные слагаемые:

$\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\alpha\cos^2\beta + 1 - \cos^2\beta - \cos^2\alpha + \cos^2\alpha\cos^2\beta$.

$(\cos^2\alpha - \cos^2\alpha) + (\cos^2\beta - \cos^2\beta) + (-\cos^2\alpha\cos^2\beta + \cos^2\alpha\cos^2\beta) + 1 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.

Левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части.

Ответ: Тождество доказано.