Страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

231. Решите уравнение:

1) $ \sin 9x = 1 $

2) $ \sin \frac{3x}{8} = 0 $

3) $ \sin \left(5x - \frac{\pi}{4}\right) = -1 $

4) $ 2\sin \left(4x + \frac{\pi}{4}\right) - \sqrt{2} = 0 $

5) $ \sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0 $

6) $ 6\sin(2x - 5) - 5 = 0 $

7) $ \sin(8x - 4) = \pi $

8) $ \sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8} $

1) $\sin(9x) = 1$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$9x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Разделим обе части на 9, чтобы найти $x$:
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{2\pi k}{9}, k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(\frac{3x}{8}) = 0$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$\frac{3x}{8} = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Умножим обе части на $\frac{8}{3}$, чтобы найти $x$:
$x = \frac{8\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{8\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

3) $\sin(5x - \frac{\pi}{4}) = -1$
Это частный случай решения простейшего тригонометрического уравнения.
$5x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
Перенесем $\frac{\pi}{4}$ в правую часть:
$5x = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = -\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$5x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$
Разделим обе части на 5:
$x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = -\frac{\pi}{20} + \frac{2\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$

4) $2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2} = 0$
Сначала преобразуем уравнение:
$2\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$
$\sin(4x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это частный случай тригонометрического уравнения. Используем общую формулу для синуса $\sin(t) = a \implies t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:
$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$4x + \frac{\pi}{4} = (-1)^k \frac{\pi}{4} + \pi k$
$4x = (-1)^k \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \pi k$
$x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{16} - \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z}$

5) $\sqrt{3} + 2\sin(8 - 3x) = 0$
Преобразуем уравнение:
$2\sin(8 - 3x) = -\sqrt{3}$
$\sin(8 - 3x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
Используем общую формулу $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$:
$8 - 3x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$8 - 3x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k$
$8 - 3x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$
$-3x = -8 + (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$
$3x = 8 - (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} - \pi k$
$3x = 8 + (-1)^{k} \frac{\pi}{3} - \pi k$
$x = \frac{8}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{9} - \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{8}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{9} - \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$

6) $6\sin(2x - 5) - 5 = 0$
Преобразуем уравнение:
$6\sin(2x - 5) = 5$
$\sin(2x - 5) = \frac{5}{6}$
Так как $|\frac{5}{6}| \le 1$, уравнение имеет решения.
$2x - 5 = (-1)^k \arcsin(\frac{5}{6}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$2x = 5 + (-1)^k \arcsin(\frac{5}{6}) + \pi k$
$x = \frac{5}{2} + \frac{(-1)^k}{2}\arcsin\frac{5}{6} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{5}{2} + \frac{(-1)^k}{2}\arcsin\frac{5}{6} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$

7) $\sin(8x - 4) = \pi$
Область значений функции синус $y = \sin(t)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Значение $\pi \approx 3.14159...$
Так как $\pi > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений

8) $\sin(7x - 2) = \frac{\pi}{8}$
Проверим значение в правой части: $\pi \approx 3.14$, поэтому $\frac{\pi}{8} \approx \frac{3.14}{8} \approx 0.3925$.
Так как $|\frac{\pi}{8}| \le 1$, уравнение имеет решения.
$7x - 2 = (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$7x = 2 + (-1)^k \arcsin(\frac{\pi}{8}) + \pi k$
$x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{7}$, где $k \in \mathbb{Z}$
Ответ: $x = \frac{2}{7} + \frac{(-1)^k}{7}\arcsin\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$;

2) $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = -1$;

3) $\sin x - \cos x = \sqrt{2}$.

Данное уравнение $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \cos x + b \sin x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{1}{2}$

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получим:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Это дает две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = -1$ также решается методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{1}{2}$

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$, можем переписать уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \cos x + \sin(\frac{\pi}{4}) \sin x = -\frac{1}{2}$

Применяем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

Решаем полученное уравнение:

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Получаем две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{8\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n$

2) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{-8\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \implies x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для решения уравнения $\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ используем тот же метод.

Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$ соответственно:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{2\pi+\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

233. Сколько корней уравнения $\sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$?

Чтобы определить количество корней уравнения, удовлетворяющих заданному неравенству, сначала найдем общее решение уравнения, а затем отберем корни, попадающие в указанный интервал.

1. Решение уравнения
Дано уравнение: $\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$2x + \frac{2\pi}{3} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$2x + \frac{2\pi}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Для удобства отбора корней рассмотрим две серии решений, соответствующие четным и нечетным $k$.

Серия 1 (для четных k, например $k=2n$):
$2x + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Серия 2 (для нечетных k, например $k=2n+1$):
$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней
Теперь найдем, какие из полученных корней удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$:
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{5\pi}{12} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < -\frac{5}{12} + n < \frac{1}{2}$
Прибавим ко всем частям $\frac{5}{12}$:
$-\frac{6}{12} + \frac{5}{12} < n < \frac{6}{12} + \frac{5}{12}$
$-\frac{1}{12} < n < \frac{11}{12}$
Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x_1 = -\frac{5\pi}{12}$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:
$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < \frac{1}{4} + n < \frac{1}{2}$
Вычтем из всех частей $\frac{1}{4}$:
$-\frac{2}{4} - \frac{1}{4} < n < \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$
$-\frac{3}{4} < n < \frac{1}{4}$
Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x_2 = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ удовлетворяют два корня: $x_1 = -\frac{5\pi}{12}$ и $x_2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: 2

234. Решите уравнение:

1) $\sin \frac{3\pi x}{7} = 0;$

2) $\sin(4\pi\sqrt{x}) = 1;$

3) $\sin \frac{4\pi x^2}{9} = -1.$

1) Решим уравнение $sin(\frac{3\pi x}{7}) = 0$.
Уравнение вида $sin(t) = 0$ имеет решение $t = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
В данном случае $t = \frac{3\pi x}{7}$, поэтому получаем:
$\frac{3\pi x}{7} = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\pi$ и умножим на $\frac{7}{3}$:
$\frac{3x}{7} = k$
$3x = 7k$
$x = \frac{7k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{7k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $sin(4\pi\sqrt{x}) = 1$.
Во-первых, определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку под корнем может стоять только неотрицательное число, должно выполняться условие $x \ge 0$.
Уравнение вида $sin(t) = 1$ имеет решение $t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Применим это к нашему уравнению, где $t = 4\pi\sqrt{x}$:
$4\pi\sqrt{x} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$4\sqrt{x} = \frac{1}{2} + 2k$.
Разделим обе части на 4:
$\sqrt{x} = \frac{1}{8} + \frac{k}{2} = \frac{1+4k}{8}$.
Поскольку $\sqrt{x}$ не может быть отрицательным, то $\frac{1+4k}{8} \ge 0$. Это неравенство равносильно $1+4k \ge 0$, откуда $4k \ge -1$ и $k \ge -\frac{1}{4}$. Так как $k$ — целое число, то $k$ может быть $0, 1, 2, ...$, то есть $k$ — любое неотрицательное целое число.
Наконец, возведем обе части в квадрат, чтобы найти $x$:
$x = \left(\frac{1+4k}{8}\right)^2 = \frac{(1+4k)^2}{64}$.
Ответ: $x = \frac{(1+4k)^2}{64}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 0$.

3) Решим уравнение $sin(\frac{4\pi x^2}{9}) = -1$.
Уравнение вида $sin(t) = -1$ имеет решение $t = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ (или, что то же самое, $t = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$), где $k \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $t = \frac{4\pi x^2}{9}$:
$\frac{4\pi x^2}{9} = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на $\pi$:
$\frac{4x^2}{9} = -\frac{1}{2} + 2k$.
Выразим $x^2$:
$x^2 = \frac{9}{4}\left(-\frac{1}{2} + 2k\right) = \frac{9(4k-1)}{8}$.
Поскольку $x^2$ не может быть отрицательным, должно выполняться условие $\frac{9(4k-1)}{8} \ge 0$, что равносильно $4k-1 \ge 0$. Отсюда $4k \ge 1$ и $k \ge \frac{1}{4}$. Так как $k$ — целое число, оно может принимать значения $1, 2, 3, ...$, то есть $k$ — любое натуральное число.
Теперь найдем $x$, извлекая квадратный корень:
$x = \pm\sqrt{\frac{9(4k-1)}{8}} = \pm 3\sqrt{\frac{4k-1}{8}}$.
Ответ: $x = \pm 3\sqrt{\frac{4k-1}{8}}, k \in \mathbb{Z}, k \ge 1$.

235. При каких значениях $a$ имеет решения уравнение:

1) $ \sin x = 4 - a $

2) $ (a^2 - 4)\sin x = a + 2 $

3) $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $

1) Для того чтобы уравнение $ \sin x = 4 - a $ имело решения, необходимо и достаточно, чтобы его правая часть принадлежала отрезку $[-1, 1]$, так как область значений функции $y = \sin x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Решим двойное неравенство:

$ -1 \le 4 - a \le 1 $

Вычтем 4 из всех частей неравенства:

$ -1 - 4 \le -a \le 1 - 4 $

$ -5 \le -a \le -3 $

Умножим все части неравенства на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$ 5 \ge a \ge 3 $

Это эквивалентно $ 3 \le a \le 5 $. Таким образом, уравнение имеет решения при $ a \in [3, 5] $.

Ответ: $ a \in [3, 5] $.

2) Рассматриваем уравнение $ (a^2 - 4)\sin x = a + 2 $.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $ a^2 - 4 = 0 $. Это происходит при $ a = 2 $ или $ a = -2 $.

Если $ a = 2 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot \sin x = 2 + 2 $, то есть $ 0 = 4 $. Это неверное равенство, следовательно, при $ a = 2 $ решений нет.

Если $ a = -2 $, уравнение принимает вид $ 0 \cdot \sin x = -2 + 2 $, то есть $ 0 = 0 $. Это верное равенство для любого значения $ x $. Следовательно, при $ a = -2 $ уравнение имеет решения.

Случай 2: $ a^2 - 4 \ne 0 $, то есть $ a \ne 2 $ и $ a \ne -2 $.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ a^2 - 4 $:

$ \sin x = \frac{a + 2}{a^2 - 4} $

Разложим знаменатель на множители и сократим дробь (это возможно, так как $ a+2 \ne 0 $):

$ \sin x = \frac{a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{1}{a - 2} $

Для того чтобы это уравнение имело решения, необходимо, чтобы выполнялось условие:

$ -1 \le \frac{1}{a - 2} \le 1 $

Это двойное неравенство можно решить, рассмотрев два случая или преобразовав его. Преобразуем его в эквивалентное неравенство $ \left| \frac{1}{a - 2} \right| \le 1 $, что, в свою очередь, равносильно $ |a - 2| \ge 1 $ (при условии $ a \ne 2 $).

Решим неравенство $ |a - 2| \ge 1 $. Оно распадается на совокупность двух неравенств:

$ a - 2 \ge 1 $ или $ a - 2 \le -1 $

$ a \ge 3 $ или $ a \le 1 $

Итак, во втором случае решения существуют при $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

Объединим результаты обоих случаев. Из первого случая мы получили, что $ a = -2 $ является решением. Из второго случая — $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $. Поскольку значение $ a = -2 $ входит в промежуток $ (-\infty, 1] $, то итоговое множество значений $ a $, при которых уравнение имеет решения, есть $ (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

Ответ: $ a \in (-\infty, 1] \cup [3, +\infty) $.

3) Уравнение $ \sin x = 6a - a^2 - 10 $ имеет решения тогда и только тогда, когда правая часть принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

$ -1 \le 6a - a^2 - 10 \le 1 $

Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

$ \begin{cases} 6a - a^2 - 10 \le 1 \\ 6a - a^2 - 10 \ge -1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ -a^2 + 6a - 11 \le 0 $

$ a^2 - 6a + 11 \ge 0 $

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ a^2 - 6a + 11 $: $ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8 $. Поскольку дискриминант отрицательный ($ D < 0 $) и старший коэффициент положителен ($ 1 > 0 $), парабола $ y = a^2 - 6a + 11 $ полностью лежит выше оси абсцисс. Следовательно, неравенство $ a^2 - 6a + 11 \ge 0 $ выполняется для всех действительных значений $ a $.

Решим второе неравенство:

$ -a^2 + 6a - 9 \ge 0 $

$ a^2 - 6a + 9 \le 0 $

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$ (a - 3)^2 \le 0 $

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $ (a - 3)^2 \ge 0 $. Поэтому неравенство $ (a - 3)^2 \le 0 $ может выполняться только в одном случае, когда $ (a - 3)^2 = 0 $.

$ a - 3 = 0 \implies a = 3 $

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Первое неравенство верно для всех $ a \in (-\infty, +\infty) $, а второе — только при $ a = 3 $. Следовательно, единственное значение $ a $, при котором исходное уравнение имеет решение, это $ a = 3 $.

Ответ: $ a = 3 $.

236. Определите количество корней уравнения $ \sin 4x = a $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}\right] $ в зависимости от значения $ a $.

Для решения этой задачи выполним замену переменной и проанализируем получившуюся функцию на заданном промежутке.

1. Замена переменной.

Пусть $t = 4x$. Исходное уравнение примет вид $\sin t = a$.

2. Определение нового промежутка.

Необходимо найти, в каком промежутке находится переменная $t$, если $x$ принадлежит промежутку $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8}\right]$.

Для левой границы: если $x = -\frac{\pi}{4}$, то $t = 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\pi$.

Для правой границы: если $x = \frac{\pi}{8}$, то $t = 4 \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, наша задача сводится к нахождению количества корней уравнения $\sin t = a$ на промежутке $t \in \left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

3. Анализ функции $y = \sin t$ на промежутке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графика функции $y = \sin t$ и горизонтальной прямой $y = a$ на указанном промежутке.

Исследуем поведение функции $y = \sin t$ на отрезке $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$:

• На промежутке $\left[-\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$ функция $\sin t$ монотонно убывает от $\sin(-\pi)=0$ до $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$.
• На промежутке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $\sin t$ монотонно возрастает от $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1$ до $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$.

4. Определение количества корней в зависимости от $a$.

Рассмотрим различные значения параметра $a$:

• Если $a < -1$ или $a > 1$ ($|a| > 1$):
  Прямая $y=a$ не пересекает график функции $y = \sin t$, так как область значений синуса $[-1, 1]$. В этом случае корней нет.
• Если $a = 1$:
  Прямая $y=1$ имеет с графиком одну общую точку $t = \frac{\pi}{2}$, которая является концом нашего промежутка. Уравнение имеет один корень.
• Если $0 < a < 1$:
  Прямая $y=a$ пересекает график функции только на участке возрастания $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Уравнение имеет один корень.
• Если $a = 0$:
  Прямая $y=0$ пересекает график в двух точках: $t=-\pi$ и $t=0$. Обе точки принадлежат промежутку $\left[-\pi; \frac{\pi}{2}\right]$. Уравнение имеет два корня.
• Если $-1 < a < 0$:
  Прямая $y=a$ пересекает график на участке убывания $\left(-\pi; -\frac{\pi}{2}\right)$ в одной точке и на участке возрастания $\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)$ в одной точке. Уравнение имеет два корня.
• Если $a = -1$:
  Прямая $y=-1$ имеет с графиком одну общую точку $t = -\frac{\pi}{2}$, которая принадлежит промежутку. Уравнение имеет один корень.

Итоговое заключение:

Объединим полученные результаты:

• Нет корней: при $a < -1$ или $a > 1$.
• Один корень: при $a = -1$, а также при $0 < a \le 1$.
• Два корня: при $-1 < a \le 0$.

Ответ:

если $a \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$, то корней нет;

если $a = -1$ или $a \in (0; 1]$, то 1 корень;

если $a \in (-1; 0]$, то 2 корня.

237. Решите графически уравнение $\sin x = -2x$.

Чтобы решить уравнение $ \sin x = -2x $ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $ y = \sin x $ и $ y = -2x $. Решением уравнения будет абсцисса (координата $x$) точки их пересечения.

График функции $ y = \sin x $ — это синусоида, периодическая функция, проходящая через начало координат, значения которой лежат в диапазоне от -1 до 1.

График функции $ y = -2x $ — это прямая линия, которая также проходит через начало координат и имеет отрицательный угловой коэффициент.

Построим оба графика:

Из построенных графиков видно, что они пересекаются только в одной точке — в начале координат $ (0, 0) $.

Проведем аналитическую проверку этого наблюдения:

• При $ x = 0 $ левая часть уравнения равна $ \sin(0) = 0 $, а правая часть равна $ -2 \cdot 0 = 0 $. Так как $ 0 = 0 $, то $ x = 0 $ является решением.
• При $ x > 0 $ значения функции $ y = -2x $ всегда отрицательны. В то же время, на интервале $ (0, \pi) $ значения $ \sin x $ положительны. При $ x \ge \pi $, значение $ -2x $ будет меньше или равно $ -2\pi \approx -6.28 $, в то время как минимальное значение $ \sin x $ равно -1. Следовательно, при $ x > 0 $ равенство невозможно.
• При $ x < 0 $ значения функции $ y = -2x $ всегда положительны. В то же время, на интервале $ (-\pi, 0) $ значения $ \sin x $ отрицательны. При $ x \le -\pi $, значение $ -2x $ будет больше или равно $ 2\pi \approx 6.28 $, в то время как максимальное значение $ \sin x $ равно 1. Следовательно, при $ x < 0 $ равенство также невозможно.

Таким образом, графики пересекаются только в одной точке, абсцисса которой равна 0.

Ответ: $ x = 0 $.

238. Решите уравнение:

1) $tg 5x = 0;$

2) $tg \left(\frac{\pi}{3} - 4x\right) = -1;$

3) $6 tg \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) - 7 = 0;$

4) $ctg 11x = -1;$

5) $ctg \left(\frac{\pi}{6} - 8x\right) = 0;$

6) $3 ctg \left(6x - \frac{\pi}{3}\right) - 10 = 0.$

1) Решим уравнение $\operatorname{tg}(5x) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{tg}(a) = 0$ — это $a = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (целые числа).
В данном случае $a = 5x$, поэтому мы можем записать:
$5x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 5:
$x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi n}{5}, n \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{3} - 4x) = -1$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{tg}(a) = b$ — это $a = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\pi}{3} - 4x$ и $b = -1$. Значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$.
Подставляем значения в формулу:
$\frac{\pi}{3} - 4x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Теперь выразим $x$. Сначала перенесем $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:
$-4x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
$-4x = -\frac{3\pi + 4\pi}{12} + \pi n$
$-4x = -\frac{7\pi}{12} + \pi n$
Умножим обе части на -1, чтобы избавиться от знака минус перед $4x$:
$4x = \frac{7\pi}{12} - \pi n$
Разделим обе части на 4:
$x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{7\pi}{48} - \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $6\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) - 7 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4})$:
$6\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) = 7$
$\operatorname{tg}(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{7}{6}$
Используем общую формулу решения $a = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, где $a = 2x - \frac{\pi}{4}$ и $b = \frac{7}{6}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$2x = \frac{\pi}{4} + \operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg}(\frac{7}{6}) + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) Решим уравнение $\operatorname{ctg}(11x) = -1$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{ctg}(a) = b$ — это $a = \operatorname{arcctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = 11x$ и $b = -1$. Значение арккотангенса от -1 равно $\frac{3\pi}{4}$.
Подставляем значения в формулу:
$11x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Разделим обе части на 11, чтобы найти $x$:
$x = \frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{3\pi}{44} + \frac{\pi n}{11}, n \in \mathbb{Z}$.

5) Решим уравнение $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{6} - 8x) = 0$.
Общее решение уравнения вида $\operatorname{ctg}(a) = 0$ — это $a = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В данном случае $a = \frac{\pi}{6} - 8x$.
$\frac{\pi}{6} - 8x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$-8x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{3\pi - \pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{2\pi}{6} + \pi n$
$-8x = \frac{\pi}{3} + \pi n$
Разделим обе части на -8:
$x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{24} - \frac{\pi n}{8}, n \in \mathbb{Z}$.

6) Решим уравнение $3\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) - 10 = 0$.
Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3})$:
$3\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) = 10$
$\operatorname{ctg}(6x - \frac{\pi}{3}) = \frac{10}{3}$
Используем общую формулу решения $a = \operatorname{arcctg}(b) + \pi n$, где $a = 6x - \frac{\pi}{3}$ и $b = \frac{10}{3}$.
$6x - \frac{\pi}{3} = \operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
Выразим $x$:
$6x = \frac{\pi}{3} + \operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \pi n$
$x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{18} + \frac{1}{6}\operatorname{arcctg}(\frac{10}{3}) + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z}$.