Номер 170, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

170. Возможно ли равенство:

1) $\cos \alpha = \sqrt{2} \cos 47^\circ$;

2) $\sin \alpha = \frac{2}{\sqrt{3}} \cos 29^\circ$?

1) $cos α = \sqrt{2}cos 47°$;

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части, $\sqrt{2}cos 47°$, должно принадлежать области значений функции косинуса, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение выражения $\sqrt{2}cos 47°$.

Функция $y=cos(x)$ является убывающей на интервале $[0°, 90°]$. Сравним угол $47°$ с углом $45°$, косинус которого нам известен.

Поскольку $47° > 45°$, то для косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:

$cos 47° < cos 45°$

Мы знаем, что $cos 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$cos 47° < \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\sqrt{2}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$\sqrt{2} \cdot cos 47° < \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sqrt{2}cos 47° < \frac{2}{2}$

$\sqrt{2}cos 47° < 1$

Так как угол $47°$ находится в первой координатной четверти, его косинус положителен ($cos 47° > 0$), следовательно, и все выражение $\sqrt{2}cos 47°$ также положительно.

Таким образом, мы получили, что $0 < \sqrt{2}cos 47° < 1$. Это значение находится внутри отрезка $[-1, 1]$, а значит, существует такой угол $α$, для которого данное равенство будет верным.

Ответ: да, возможно.

2) $sin α = \frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$?

Для того чтобы данное равенство было возможным, значение выражения в правой части, $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$, должно принадлежать области значений функции синуса, то есть отрезку $[-1, 1]$.

Оценим значение выражения $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$.

Функция $y=cos(x)$ является убывающей на интервале $[0°, 90°]$. Сравним угол $29°$ с углом $30°$, косинус которого нам известен.

Поскольку $29° < 30°$, то для косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство:

$cos 29° > cos 30°$

Мы знаем, что $cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим это значение в неравенство:

$cos 29° > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь умножим обе части неравенства на $\frac{2}{\sqrt{3}}$ (это положительное число, поэтому знак неравенства не меняется):

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot cos 29° > \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29° > 1$

Полученное значение $\frac{2}{\sqrt{3}}cos 29°$ строго больше 1. Максимальное возможное значение для $sin α$ равно 1. Так как правая часть уравнения больше 1, то не существует такого угла $α$, для которого это равенство могло бы выполняться.

Ответ: нет, невозможно.