Номер 169, страница 134 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

169. Определите знак разности:

1) $ \sin 28^\circ - \cos 28^\circ $;

2) $ \cos 42^\circ - \sin 43^\circ $;

3) $ \sin 62^\circ - \cos 31^\circ $.

1) $sin 28^\circ - cos 28^\circ$

Для определения знака разности необходимо сравнить значения $sin 28^\circ$ и $cos 28^\circ$.

Рассмотрим единичную окружность. Углу $45^\circ$ соответствует точка, у которой абсцисса (косинус) и ордината (синус) равны. Для углов, меньших $45^\circ$ (в первой четверти), абсцисса больше ординаты, то есть $cos \alpha > sin \alpha$.

Поскольку $0^\circ < 28^\circ < 45^\circ$, то $cos 28^\circ > sin 28^\circ$.

Следовательно, разность $sin 28^\circ - cos 28^\circ$ является отрицательным числом.

Другой способ решения:
Воспользуемся формулой приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.
$cos 28^\circ = sin(90^\circ - 28^\circ) = sin 62^\circ$.
Тогда исходное выражение можно переписать в виде: $sin 28^\circ - sin 62^\circ$.
Функция $y = sin x$ на промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ является возрастающей. Так как $28^\circ < 62^\circ$, то $sin 28^\circ < sin 62^\circ$.
Отсюда следует, что разность $sin 28^\circ - sin 62^\circ < 0$.

Ответ: знак "минус" (-).

2) $cos 42^\circ - sin 43^\circ$

Чтобы сравнить значения, приведем их к одной тригонометрической функции. Используем формулу приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.

$cos 42^\circ = sin(90^\circ - 42^\circ) = sin 48^\circ$.

Теперь выражение имеет вид: $sin 48^\circ - sin 43^\circ$.

Функция $y = sin x$ в первой четверти (от $0^\circ$ до $90^\circ$) возрастает. Поскольку $48^\circ > 43^\circ$, то $sin 48^\circ > sin 43^\circ$.

Следовательно, разность $sin 48^\circ - sin 43^\circ$ является положительным числом.

Ответ: знак "плюс" (+).

3) $sin 62^\circ - cos 31^\circ$

Приведем $cos 31^\circ$ к синусу с помощью формулы приведения $cos \alpha = sin(90^\circ - \alpha)$.

$cos 31^\circ = sin(90^\circ - 31^\circ) = sin 59^\circ$.

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$sin 62^\circ - sin 59^\circ$.

Так как функция $y = sin x$ является возрастающей в первой четверти, а $62^\circ > 59^\circ$, то $sin 62^\circ > sin 59^\circ$.

Таким образом, разность $sin 62^\circ - sin 59^\circ$ положительна.

Ответ: знак "плюс" (+).