Номер 241, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

241. Найдите:

1) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}; $

2) $ \arccos \frac{1}{2}; $

3) $ \operatorname{arctg} 1; $

4) $ \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}; $

5) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

6) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

7) $ \operatorname{arctg} (-1); $

8) $ \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

1) По определению арксинуса, $ \arcsin(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $, что $ \sin(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

2) По определению арккосинуса, $ \arccos(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, что $ \cos(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $. Следовательно, $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

3) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $, что $ \operatorname{tg}(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

4) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, что $ \operatorname{ctg}(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

5) Используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $. $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, значит $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $. Угол $ -\frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $.

6) Используем свойство арккосинуса для отрицательного аргумента: $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $. $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, значит $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $.

7) Используем свойство нечетности арктангенса: $ \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a) $. $ \operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) $. Из пункта 3 мы знаем, что $ \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} $.

8) Используем свойство арккотангенса для отрицательного аргумента: $ \operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a) $. $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $. Из пункта 4 мы знаем, что $ \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.