Номер 248, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

248. Вычислите:

1) $\cos \left(\arcsin \frac{2}{9}\right);$

2) $\sin \left(\arccos \frac{3}{4}\right);$

3) $\sin (\operatorname{arctg} 3);$

4) $\cos (\operatorname{arcctg}(-2));$

5) $\operatorname{tg} \left(\arcsin \frac{1}{5}\right);$

6) $\operatorname{ctg}(\operatorname{arcctg} 6).$

1) Вычислить $ \cos(\arcsin\frac{2}{9}) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{2}{9} $. По определению арксинуса, это означает, что $ \sin(\alpha) = \frac{2}{9} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $.
Поскольку $ \sin(\alpha) = \frac{2}{9} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). В этой четверти косинус положителен.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.
Отсюда $ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) $.
Подставим известное значение синуса:
$ \cos^2(\alpha) = 1 - (\frac{2}{9})^2 = 1 - \frac{4}{81} = \frac{81 - 4}{81} = \frac{77}{81} $.
Так как $ \cos(\alpha) > 0 $, извлекаем положительный корень:
$ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{77}{81}} = \frac{\sqrt{77}}{9} $.
Таким образом, $ \cos(\arcsin\frac{2}{9}) = \frac{\sqrt{77}}{9} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{77}}{9} $

2) Вычислить $ \sin(\arccos\frac{3}{4}) $

Пусть $ \alpha = \arccos\frac{3}{4} $. По определению арккосинуса, $ \cos(\alpha) = \frac{3}{4} $ и угол $ \alpha $ находится в промежутке $ [0, \pi] $.
Поскольку $ \cos(\alpha) = \frac{3}{4} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). В этой четверти синус положителен.
Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $.
Отсюда $ \sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) $.
Подставим известное значение косинуса:
$ \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{3}{4})^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{16 - 9}{16} = \frac{7}{16} $.
Так как $ \sin(\alpha) > 0 $, извлекаем положительный корень:
$ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} $.
Следовательно, $ \sin(\arccos\frac{3}{4}) = \frac{\sqrt{7}}{4} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{7}}{4} $

3) Вычислить $ \sin(\operatorname{arctg} 3) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}(3) $. По определению арктангенса, $ \operatorname{tg}(\alpha) = 3 $ и $ -\frac{\pi}{2} < \alpha < \frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \operatorname{tg}(\alpha) = 3 > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). В этой четверти синус положителен.
Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{ctg}^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $.
Сначала найдем котангенс: $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)} = \frac{1}{3} $.
Подставим значение котангенса в тождество:
$ 1 + (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \implies 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} \implies \frac{10}{9} = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} $.
Отсюда $ \sin^2(\alpha) = \frac{9}{10} $.
Так как $ \sin(\alpha) > 0 $, извлекаем положительный корень:
$ \sin(\alpha) = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Следовательно, $ \sin(\operatorname{arctg}(3)) = \frac{3\sqrt{10}}{10} $.
Ответ: $ \frac{3\sqrt{10}}{10} $

4) Вычислить $ \cos(\operatorname{arcctg}(-2)) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arcctg}(-2) $. По определению арккотангенса, $ \operatorname{ctg}(\alpha) = -2 $ и $ 0 < \alpha < \pi $.
Поскольку $ \operatorname{ctg}(\alpha) = -2 < 0 $, угол $ \alpha $ находится во второй четверти ($ \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi $). В этой четверти косинус отрицателен.
Воспользуемся тождеством $ 1 + \operatorname{tg}^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
Сначала найдем тангенс: $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{ctg}(\alpha)} = -\frac{1}{2} $.
Подставим значение тангенса в тождество:
$ 1 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \implies 1 + \frac{1}{4} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \implies \frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} $.
Отсюда $ \cos^2(\alpha) = \frac{4}{5} $.
Так как $ \cos(\alpha) < 0 $, извлекаем отрицательный корень:
$ \cos(\alpha) = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $.
Следовательно, $ \cos(\operatorname{arcctg}(-2)) = -\frac{2\sqrt{5}}{5} $.
Ответ: $ -\frac{2\sqrt{5}}{5} $

5) Вычислить $ \operatorname{tg}(\arcsin\frac{1}{5}) $

Пусть $ \alpha = \arcsin\frac{1}{5} $. По определению арксинуса, $ \sin(\alpha) = \frac{1}{5} $ и $ -\frac{\pi}{2} \le \alpha \le \frac{\pi}{2} $.
Поскольку $ \sin(\alpha) = \frac{1}{5} > 0 $, угол $ \alpha $ находится в первой четверти ($ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $). В этой четверти косинус и тангенс положительны.
Найдем $ \cos(\alpha) $ из основного тригонометрического тождества $ \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 $:
$ \cos^2(\alpha) = 1 - \sin^2(\alpha) = 1 - (\frac{1}{5})^2 = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} $.
Так как $ \cos(\alpha) > 0 $, то $ \cos(\alpha) = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5} = \frac{2\sqrt{6}}{5} $.
Теперь найдем тангенс по формуле $ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} $:
$ \operatorname{tg}(\alpha) = \frac{1/5}{2\sqrt{6}/5} = \frac{1}{2\sqrt{6}} $.
Избавимся от иррациональности в знаменателе:
$ \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{12} $.
Следовательно, $ \operatorname{tg}(\arcsin\frac{1}{5}) = \frac{\sqrt{6}}{12} $.
Ответ: $ \frac{\sqrt{6}}{12} $

6) Вычислить $ \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg} 6) $

Пусть $ \alpha = \operatorname{arctg}(6) $. По определению арктангенса, это означает, что $ \operatorname{tg}(\alpha) = 6 $.
Нам нужно найти $ \operatorname{ctg}(\alpha) $. По определению котангенса, $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha)} $.
Подставляем известное значение тангенса:
$ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{1}{6} $.
Это также следует из тождества $ \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg}(x)) = \frac{1}{x} $ для всех $ x \neq 0 $.
Таким образом, $ \operatorname{ctg}(\operatorname{arctg}(6)) = \frac{1}{6} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} $