Номер 255, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{\cos \frac{x}{2}}$.

Исходное уравнение:$ \cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{1}{\cos\frac{x}{2}} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ \cos\frac{x}{2} \neq 0 $
$ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
$ x \neq \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Умножим обе части уравнения на $ \cos\frac{x}{2} $, что допустимо в рамках ОДЗ:
$ \cos^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:
$ (1 - \sin^2\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 $

Перенесем 1 в левую часть и упростим:
$ -\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $

Вынесем $ \sin\frac{x}{2} $ за скобки:
$ \sin\frac{x}{2} \left( \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \sin\frac{x}{2} = 0 $
$ \frac{x}{2} = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как при $ x = 2\pi n $, $ \cos\frac{x}{2} = \cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0 $.
Найдем наибольший отрицательный корень из этой серии. При $ n = -1 $, $ x = -2\pi $. При $ n = -2 $, $ x = -4\pi $ и так далее. Наибольший отрицательный корень в этом случае равен $ -2\pi $.

2) $ \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0 $
$ \cos\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2} $
Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{2} $ (мы знаем, что он не равен нулю):
$ \tan\frac{x}{2} = 1 $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.
Найдем наибольший отрицательный корень из этой серии. При $ m = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $. При $ m = -2 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} $ и так далее. Наибольший отрицательный корень в этом случае равен $ -\frac{3\pi}{2} $.

Теперь необходимо сравнить полученные наибольшие отрицательные корни из двух серий: $ -2\pi $ и $ -\frac{3\pi}{2} $.
Так как $ -2\pi = -\frac{4\pi}{2} $, а $ -\frac{3\pi}{2} > -\frac{4\pi}{2} $, то наибольшим отрицательным корнем исходного уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $.