Номер 256, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение $\sin^2 x - (3a+1)\sin x + 6a - 2 = 0?$}

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно $\sin x$. Выполним замену переменной. Пусть $t = \sin x$.

Поскольку область значений функции синуса есть отрезок $[-1, 1]$, на новую переменную $t$ накладывается ограничение: $-1 \le t \le 1$.

В результате замены исходное уравнение приобретает вид:

$t^2 - (3a + 1)t + 6a - 2 = 0$

Для того чтобы исходное уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение относительно $t$ имело хотя бы один корень, принадлежащий отрезку $[-1, 1]$.

Решим полученное квадратное уравнение. Для начала найдем его дискриминант $D$:

$D = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 2) = (3a + 1)^2 - 4(6a - 2)$

$D = 9a^2 + 6a + 1 - 24a + 8 = 9a^2 - 18a + 9$

$D = 9(a^2 - 2a + 1) = 9(a - 1)^2$

Так как $D = 9(a - 1)^2 \ge 0$ при любом действительном $a$, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$t_{1,2} = \frac{(3a + 1) \pm \sqrt{9(a-1)^2}}{2} = \frac{3a + 1 \pm 3|a-1|}{2}$

Независимо от того, больше $a$ единицы или меньше, раскрытие модуля $|a-1|$ дает один и тот же набор корней. Проверим это:

• Если $a \ge 1$, то $|a-1| = a-1$.
  $t_1 = \frac{3a + 1 + 3(a-1)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1$
  $t_2 = \frac{3a + 1 - 3(a-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
• Если $a < 1$, то $|a-1| = -(a-1) = 1-a$.
  $t_1 = \frac{3a + 1 + 3(1-a)}{2} = \frac{4}{2} = 2$
  $t_2 = \frac{3a + 1 - 3(1-a)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1$

Таким образом, корнями квадратного уравнения для $t$ являются $t_1 = 2$ и $t_2 = 3a - 1$.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $a$ хотя бы один из этих корней попадает в отрезок $[-1, 1]$.

Корень $t_1 = 2$ не принадлежит отрезку $[-1, 1]$, следовательно, уравнение $\sin x = 2$ решений не имеет.

Значит, для существования корней исходного уравнения необходимо, чтобы второй корень $t_2 = 3a - 1$ принадлежал отрезку $[-1, 1]$. Это приводит к следующему двойному неравенству:

$-1 \le 3a - 1 \le 1$

Прибавим ко всем частям неравенства $1$:

$0 \le 3a \le 2$

Разделим все части неравенства на $3$:

$0 \le a \le \frac{2}{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет корни только при $a \in [0, \frac{2}{3}]$.

Ответ: $a \in [0, \frac{2}{3}]$.