Номер 256, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

256. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение $\sin^2 x - (3a+1)\sin x + 6a - 2 = 0?$}

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно `\sin x`. Выполним замену переменной. Пусть `t = \sin x`.

Поскольку область значений функции синуса есть отрезок `[-1, 1]`, на новую переменную `t` накладывается ограничение: `-1 \le t \le 1`.

В результате замены исходное уравнение приобретает вид:

`t^2 - (3a + 1)t + 6a - 2 = 0`

Для того чтобы исходное уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение относительно `t` имело хотя бы один корень, принадлежащий отрезку `[-1, 1]`.

Решим полученное квадратное уравнение. Для начала найдем его дискриминант `D`:

`D = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 2) = (3a + 1)^2 - 4(6a - 2)`

`D = 9a^2 + 6a + 1 - 24a + 8 = 9a^2 - 18a + 9`

`D = 9(a^2 - 2a + 1) = 9(a - 1)^2`

Так как `D = 9(a - 1)^2 \ge 0` при любом действительном `a`, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

`t_{1,2} = \frac{(3a + 1) \pm \sqrt{9(a-1)^2}}{2} = \frac{3a + 1 \pm 3|a-1|}{2}`

Независимо от того, больше `a` единицы или меньше, раскрытие модуля `|a-1|` дает один и тот же набор корней. Проверим это:

• Если `a \ge 1`, то `|a-1| = a-1`.
  `t_1 = \frac{3a + 1 + 3(a-1)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1`
  `t_2 = \frac{3a + 1 - 3(a-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2`
• Если `a < 1`, то `|a-1| = -(a-1) = 1-a`.
  `t_1 = \frac{3a + 1 + 3(1-a)}{2} = \frac{4}{2} = 2`
  `t_2 = \frac{3a + 1 - 3(1-a)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1`

Таким образом, корнями квадратного уравнения для `t` являются `t_1 = 2` и `t_2 = 3a - 1`.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях `a` хотя бы один из этих корней попадает в отрезок `[-1, 1]`.

Корень `t_1 = 2` не принадлежит отрезку `[-1, 1]`, следовательно, уравнение `\sin x = 2` решений не имеет.

Значит, для существования корней исходного уравнения необходимо, чтобы второй корень `t_2 = 3a - 1` принадлежал отрезку `[-1, 1]`. Это приводит к следующему двойному неравенству:

`-1 \le 3a - 1 \le 1`

Прибавим ко всем частям неравенства `1`:

`0 \le 3a \le 2`

Разделим все части неравенства на `3`:

`0 \le a \le \frac{2}{3}`

Таким образом, исходное уравнение имеет корни только при `a \in [0, \frac{2}{3}]`.

Ответ: `a \in [0, \frac{2}{3}]`.