Номер 263, страница 149 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Решите неравенство:

1) $\sin x \ge -\frac{1}{2}$;

2) $\cos x < \frac{\sqrt{2}}{2}$;

3) $\operatorname{tg} x \ge 1$;

4) $\operatorname{ctg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$.

1) Решим неравенство $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $.

Для решения этого тригонометрического неравенства воспользуемся единичной окружностью. Сначала найдем значения $x$, для которых $ \sin x = -\frac{1}{2} $. Это углы $ x = -\frac{\pi}{6} $ и $ x = \frac{7\pi}{6} $.

Синус – это ордината (координата y) точки на единичной окружности. Неравенство $ \sin x \ge -\frac{1}{2} $ означает, что нам нужны все точки на окружности, у которых ордината больше или равна $ -\frac{1}{2} $. Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке $ -\frac{\pi}{6} $ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $ \frac{7\pi}{6} $.

Таким образом, на одном обороте решение неравенства – это промежуток $ [-\frac{\pi}{6}; \frac{7\pi}{6}] $.

Учитывая, что функция синуса периодична с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства можно записать, добавив к границам промежутка $ 2\pi n $, где $ n $ – любое целое число ($ n \in \mathbb{Z} $).

Ответ: $ x \in [-\frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{7\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим неравенство $ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} $.

Используем единичную окружность. Сначала найдем значения $x$, для которых $ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Это углы $ x = \frac{\pi}{4} $ и $ x = -\frac{\pi}{4} $ (или $ x = \frac{7\pi}{4} $).

Косинус – это абсцисса (координата x) точки на единичной окружности. Неравенство $ \cos x < \frac{\sqrt{2}}{2} $ означает, что нам нужны все точки на окружности, у которых абсцисса меньше $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Эти точки образуют дугу, которая начинается в точке $ \frac{\pi}{4} $ и, двигаясь против часовой стрелки, заканчивается в точке $ \frac{7\pi}{4} $.

Таким образом, на одном обороте решение неравенства – это интервал $ (\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}) $. Неравенство строгое, поэтому концы интервала не включаются.

Учитывая периодичность функции косинуса с периодом $ 2\pi $, общее решение неравенства записывается как:

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{4} + 2\pi n; \frac{7\pi}{4} + 2\pi n), n \in \mathbb{Z} $.

3) Решим неравенство $ \tg x \ge 1 $.

Сначала решим уравнение $ \tg x = 1 $. Корень этого уравнения $ x = \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $.

Функция $ y = \tg x $ определена для всех $ x \ne \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и является возрастающей на каждом из интервалов области определения. Период функции равен $ \pi $.

Рассмотрим один период, например, интервал $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $. На этом интервале $ \tg x \ge 1 $ при $ x \ge \frac{\pi}{4} $. Таким образом, решением будет промежуток $ [\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}) $. Точка $ \frac{\pi}{2} $ не включается, так как в ней тангенс не определен.

Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in [\frac{\pi}{4} + \pi n; \frac{\pi}{2} + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.

4) Решим неравенство $ \operatorname{ctg} x < \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Сначала решим уравнение $ \operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Корень этого уравнения $ x = \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3} $.

Функция $ y = \operatorname{ctg} x $ определена для всех $ x \ne \pi n, n \in \mathbb{Z} $, и является убывающей на каждом из интервалов области определения. Период функции равен $ \pi $.

Рассмотрим один период, например, интервал $ (0; \pi) $. Поскольку функция убывающая, неравенство $ \operatorname{ctg} x < \frac{\sqrt{3}}{3} $ будет выполняться для значений $x$, которые больше, чем корень уравнения $ \operatorname{ctg} x = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Таким образом, решением на этом интервале будет $ (\frac{\pi}{3}; \pi) $. Точка $ \pi $ не включается, так как в ней котангенс не определен.

Добавляя период $ \pi n $, получаем общее решение.

Ответ: $ x \in (\frac{\pi}{3} + \pi n; \pi + \pi n), n \in \mathbb{Z} $.